基于线性自抗扰控制技术的伺服控制系统研究*

doi:10.11985/2023.04.005

基于线性自抗扰控制技术的伺服控制系统研究^*

夏亮^,¹, 孙天夫^,², 李鑫宇^,²^,³, 谭先锋^,¹, 郑登华^,¹

1.重庆智能机器人研究院重庆 400000

2.中国科学院深圳先进技术研究院深圳 518000

3.燕山大学机械工程学院秦皇岛 066004

Research on Servo Control System Based on Linear Active Disturbance Rejection Control Technology

XIA Liang^,¹, SUN Tianfu^,², LI Xinyu^,²^,³, TAN Xianfeng^,¹, ZHENG Denghua^,¹

1. Chongqing Robotics Institute, Chongqing 400000

2. Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen 518000

3. School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004

通讯作者: 孙天夫，男，1985年生，博士，副研究员。主要研究方向为电机控制、驱动、设计技术。E-mail：tf.sun@siat.ac.cn

收稿日期: 2023-09-11 修回日期: 2023-11-1

基金资助:

*广东省自然科学基金(2023A1515030112)
中国科学院青年创新促进会(2021360)

Received: 2023-09-11 Revised: 2023-11-1

作者简介 About authors

夏亮，男，1986年生，硕士。主要研究方向为机器人控制、驱动技术。E-mail：112182504@qq.com

李鑫宇，男，2000年生，硕士研究生。主要研究方向为电机控制、驱动技术。E-mail：xy.li15@siat.ac.cn

谭先锋，男，1990年生，硕士。主要研究方向为机器人驱动技术、嵌入式软件技术。E-mail：xf.tan@foxmail.com

郑登华，男，1989年生。主要研究方向为机器人应用技术。E-mail：834841346@qq.com

摘要

自抗扰控制器是一种不依赖控制对象精准数学模型的控制器，具有超调量小、鲁棒性强等特点，但由于引入非线性函数，参数难以整定。对自抗扰控制器进行线性化处理即为线性自抗扰控制器。针对永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor, PMSM)伺服系统，应用线性自抗扰控制理论，设计并比较了一阶电流环、速度环、位置环LADRC控制器，仿真结果表明，采用LADRC控制器的伺服系统具有良好的动态性能和稳态性能，并具有较强的抗干扰能力，且易于整定。

关键词： 线性自抗扰控制; 永磁同步电机; 参数整定; 鲁棒性

Abstract

Active disturbance rejection controller(ADRC) is a kind of controller which does not depend on the precise mathematical model of the control object. It has the characteristics of small overshoot and strong robustness. However, due to the introduction of nonlinear function, the parameters are difficult to be adjusted. The linearization of ADRC is called linear ADRC. Based on the theory of linear active disturbance rejection control for permanent magnet synchronous motor servo system, the current loop, speed loop and the position loop LADRC controller are designed and compared. The simulation results show that the servo system with LADRC controller has good dynamic performance and steady-state performance, strong anti-interference ability and easy tuning.

Keywords： Linear active disturbance rejection controller(LADRC); Permanent magnet synchronous motor(PMSM); parameter tuning; robustness

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本文引用格式

夏亮, 孙天夫, 李鑫宇, 谭先锋, 郑登华. 基于线性自抗扰控制技术的伺服控制系统研究^*[J]. 电气工程学报, 2023, 18(4): 43-49 doi:10.11985/2023.04.005

XIA Liang, SUN Tianfu, LI Xinyu, TAN Xianfeng, ZHENG Denghua. Research on Servo Control System Based on Linear Active Disturbance Rejection Control Technology[J]. Chinese Journal of Electrical Engineering, 2023, 18(4): 43-49 doi:10.11985/2023.04.005

1 引言

伺服系统在数控机床、航空航天、军用武器随动系统以及机器人等领域具有极其广泛的应用^[1⇓⇓-4]。近年来，永磁同步电机因高转矩电流比、转矩波动小、调速范围广等优点在工业领域获得了广泛应用^[5-6]。随着科技的发展，工程中对于伺服控制系统的快速性、准确性和控制参数易于整定的需求也不断增加，另外在实际应用中永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor, PMSM)作为一个非线性、强耦合的时变复杂系统，会遭遇外部扰动(负载转矩的变化)和内部扰动(参数摄动)等干扰，使得PMSM控制技术一直都是研究热点。针对以上问题，学者们进行了大量研究，一方面，继续以经典的比例-积分-微分(Proportional-integral- derivative, PID)控制器为基础，研究控制参数的自整定^[7]、参数辨识^[8]等，另一方面则试图将一些先进的控制算法，如滑模变结构控制、自适应控制以及预测控制^[9⇓⇓-12]等，应用在PMSM伺服系统中。

针对控制对象的外部和内部扰动，韩京清^[13]在PID控制思想的基础上提出了自抗扰控制器(Active disturbance rejection control, ADRC)。ADRC将被控对象的各种不确定因素包括内部扰动和外部扰动归结为总扰动，采用扩张状态观测器(Extended state observer, ESO)对总扰动进行估计，然后进行扰动补偿。ADRC具有超调量小、精度高、抗干扰能力强和不严重依赖模型的特点，目前已经在电力系统、化工过程、精密加工机床等领域得到了推广和应用^{[14⇓⇓-17]}。但由于ADRC采用了非线性函数，需要整定的参数过多，稳定性难以分析，限制了ADRC的工业应用前景。GAO^[18]将ADRC进行了线性化处理，提出了线性自抗扰控制器(Linear active disturbance rejection control, LADRC)，并提出了基于时间尺度的整定方法，将LESO和状态反馈的设计转化为控制器带宽( $ω_{c}$ )和观测器带宽( $ω_{0}$ )的选取，大大简化了LADRC的参数整定过程，开拓了LADRC的工业应用前景。沈威等^[19]通过将ADRC与改进型ESO并联并结合乌鸦算法(Crow search algorithm, CSA)对ADRC进行参数优化，提高了电机控制系统的鲁棒性。刘长良等^[20]基于内模原理提出自抗扰控制方法，应对非最小相位系统建模和扰动不确定性。该方法首先依据被控对象参数设计内模控制器，其次利用动态史密斯补偿器补足闭环系统的零点，解决非最小相位部分导致的响应滞后和反向响应幅值过大问题。最后，利用被控对象模型设计的扰动观测补偿器(Disturbance observer and compensation, DOC)增强系统扰动抑制能力。

本文将线性自抗扰控制理论应用于伺服驱动系统，设计了电流环一阶LADRC控制器、速度环一阶LADRC控制器以及位置环二阶LADRC控制器。其中，位置控制系统采用双环的结构，实现了位置和速度的复合精准控制，给出了相应的参数整定方法，与传统的伺服系统相比，需要调试的参数大大减少，并通过试验对LADRC的控制性能进行了研究。

2 线性自抗扰控制原理

以二阶系统为例，二阶系统微分方程一般形式为

(1)

\ddot{y} = f (y, \dot{y}, w (t), t) + b u

式中， $w (t)$ 为外部扰动， $b$ 为系统增益，u为输入，f为系统总扰动。实际中 $b$ 很难得到，这里用b₀作为b的估计值，则式(1)可化为

(2)

\ddot{y} = f (y, \dot{y}, w (t), t) + b_{0} u

将估计不准的部分 $(b - b_{0}) u$ 并入f中，可将微分方程化为状态空间方程形式，令

(3)

\{\begin{matrix} x_{1} = y \\ x_{2} = \dot{y} \\ x_{3} = f \end{matrix}

式中， $x_{3}$ 为系统扩张状态变量，即把原来的2阶系统扩展成3阶系统，从而多了一个方程用于求解人为设定的f。这里把所有与输入无关的项f视为系统总扰动，状态空间方程形式为

(4)

\{\begin{matrix} \dot{x} = A x + B u + E \dot{f} \\ y = C x \end{matrix}

(5)

\{\begin{cases} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ B = [\begin{matrix} 0 \\ b_{0} \\ 0 \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ E = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \end{cases}

式中，x为列向量形式。其中 $E \dot{f}$ 这一项可以通过观测器获得，因此在设计 $E \dot{f}$ 观测器时不考虑该项。

对该系统可建立线性扩张状态观测器(ESO)

(6)

\{\begin{matrix} \dot{z} = A z + B u + L (y - \hat{y}) \\ \hat{y} = C z \end{matrix}

式中，z为对x观测状态向量； $\hat{y}$ 为y的观测值；L为状态观测器的反馈增益。

由式(6)中两式相减得到

(7)

\{\begin{matrix} \dot{x} - \dot{z} = (A - L C) (x - z) \\ e r \dot{r} o r = (A - L C) e r r o r \end{matrix}

该微分方程的解为 $e r r o r = \exp [(A - L C) t]$ ，当 $(A - L C)$ 为负值时， $e r r o r$ 会收敛到0。因此可通过设计 $(A - L C)$ 矩阵的特征值使得状态向量z收敛至x来实现状态观测。

将 $L = {[\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]}^{T}$ 代入 $(A - L C)$ 可得

(8)

A - L C = [\begin{matrix} - β_{0} & 1 & 0 \\ - β_{1} & 0 & 1 \\ - β_{2} & 0 & 0 \end{matrix}]

这里将该系统三个极点配置在相同位置，则该矩阵的特征多项式为

(9)

s^{3} + β_{0} s^{2} + β_{1} s + β_{2} = {(s + w_{0})}^{3}

式中， $w_{0}$ 为系统极点的值， $w_{0}$ 决定了观测器的收敛速度，这里称之为观测器带宽。

通过解式(9)可得

(10)

L = {[\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]}^{T} = {[\begin{matrix} 3 w_{0} & 3 w_{0}^{2} & w_{0}^{3} \end{matrix}]}^{T}

在观测器对总扰动f (即x₃)进行观测之后，即可对控制器进行扰动补偿

(11)

u = \frac{u_{0} - f}{b_{0}} = u = \frac{u_{0} - x_{3}}{b_{0}}

式中，u为补偿后的输出，将补偿后的u代入式(2)，得到

(12)

\ddot{y} = u_{0}

至此，包含扰动的二阶系统被化简为一个不含扰动的二阶系统。对于二阶系统，使用PD控制器设计 $u_{0}$ ，则其表达式为

(13)

u_{0} = k_{p} (r - y) + k_{d} (\dot{r} - \dot{y})

式中，r为参考值，一般为定值，则 $\dot{r}$ 为0。把式(13)代入式(12)可得

(14)

\frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{k_{p}}{s^{2} + k_{d} s + k_{p}}

配置上式极点为

(15)

s^{2} + k_{d} s + k_{p} = {(s + w_{c})}^{2}

得到PD参数值

(16)

\{\begin{matrix} k_{p} = w_{c}^{2} \\ k_{d} = 2 w_{c} \end{matrix}

式中， $w_{c}$ 为系统极点的值，同理将系统极点配置在相同位置。 $w_{c}$ 决定了控制器的收敛速度，称之为控制器带宽。一般在进行设计时，观测器带宽为控制器带宽的三到五倍。

3 伺服电机系统线性自抗扰控制器设计

3.1 电流环控制器设计

伺服系统dq轴电流表达式如式(17)所示

(17)

\{\begin{matrix} {\dot{i}}_{d} = \frac{1}{L_{d}} u_{d} - \frac{1}{L_{d}} (R_{s} i_{d} - w_{e} L_{q} i_{q}) \\ {\dot{i}}_{q} = \frac{1}{L_{q}} u_{q} - \frac{1}{L_{q}} (R_{s} i_{q} + w_{e} ψ_{f}) \end{matrix}

式中，以q轴电流控制为例实现线性自抗扰控制，u_q相当于输入，称为u， $\frac{1}{L_{q}}$ 为系统增益，称为b，其他项视为总扰动，称为f，i_q为输出，称为y。

由于控制电流微分方程为一阶，在这里采用一阶线性自抗扰控制器。其原微分方程为

(18)

\dot{y} = b u + f

式中，b可根据实际测量获得，也可以进行估计，这里用b₀作为b的估计值。其他估计不准的部分也可并入 $f$ 。则式(18)可写为

(19)

\dot{y} = (b - b_{0}) u + f + b_{0} u = f + b_{0} u

令

(20)

\{\begin{matrix} x_{1} = y \\ x_{2} = f \end{matrix}

可将微分方程化为状态空间方程

(21)

\{\begin{matrix} \dot{x} = A x + B u + E \dot{f} \\ y = C x \end{matrix}

式中， $x_{2}$ 为系统扩张状态变量，这里为系统总扰动， $x$ 为列向量形式， $A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} b_{0} \\ 0 \end{matrix}], E = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}],$ $C = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]$ 。

对该系统可建立线性扩张状态观测器(ESO)

(22)

\{\begin{matrix} \dot{z} = A z + B u + L (y - \hat{y}) \\ \hat{y} = C z \end{matrix}

由前文可知 $L$ 的取值，这里不再赘述， $L = {[\begin{matrix} β_{0} & β_{1} \end{matrix}]}^{T} = {[\begin{matrix} 2 w_{0} & w_{0}^{2} \end{matrix}]}^{T}$ ，则ESO可以写成

(23)

\dot{z} = (A - L C) z + B u + L y

展开上式为

(24)

[\begin{matrix} {\dot{z}}_{1} \\ {\dot{z}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 w_{0} & 1 \\ - w_{0}^{2} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{0} \\ 0 \end{matrix}] u + [\begin{matrix} 2 w_{0} \\ w_{0}^{2} \end{matrix}] y

在观测器对总扰动 $f$ 进行观测之后，即可对控制器进行扰动补偿

(25)

u = \frac{u_{0} - f}{b_{0}}

式中， $u$ 为补偿后的输出，将补偿后的输出代入原微分方程，得到

(26)

\dot{y} = u_{0}

对于一阶系统，使用P控制器设计 $u_{0}$ ，则其表达式为

(27)

u_{0} = k_{p} (r - y)

将上式写成传递函数形式为

(28)

\frac{Y (s)}{r (s)} = \frac{k_{p}}{s + k_{p}}

式中， $k_{p}$ 为控制器带宽。

3.2 速度环控制器设计

速度环经常会面临PMSM参数不确定、负载转矩变化等扰动。

根据电机动力学模型

(29)

\dot{w} = \frac{k_{t}}{J} i - \frac{B w - T_{L}}{J}

式中，w为电机转速， $k_{t}$ 为转矩系数，J为转子转动惯量， $T_{L}$ 为负载转矩，B为黏滞摩擦因数。

由微分方程可以得到速度环控制与电流环具有类似的形式，同样为一阶微分方程。其中电流 $i$ 为系统输入， $\frac{k_{t}}{J}$ 为系统增益，其他项为总扰动。速度环的LADRC设计与电流环相同，这里不再赘述。

3.3 位置环控制器设计

位置环控制同样可以看成由速度控制的一阶微分方程

(30)

\dot{θ} = w

位置环的LADRC设计同样可以采用前文所述一阶LADRC设计理论进行设计。

4 仿真分析

为了验证前文所提算法的性能，在永磁同步电机伺服控制系统中对算法进行仿真分析，仿真中所使用的PMSM参数如表1所示。

表1 PMSM仿真参数

参数	参数值
额定功率/W	2 400
额定转速/(r/min)	3 000
额定电流/A	12
转矩系数/(N·m/A)	0.625
相电阻/Ω	0.145
永磁体磁链/Wb	0.171
相电感/mH	0.983
极对数	4
转动惯量/(kg·m²)	1.857×10^-4

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仿真系统采用电流环、速度环、位置环三环闭环控制。各控制参数如表2所示。

表2 控制系统三环控制参数

参数	参数值
电流环系统增益b₀	1 017.3
电流环LESO观测器带宽ω₀/rad	2 500
电流环控制器K_P	500
速度环系统增益b₀	920.8
速度环LESO观测器带宽ω₀/rad	250
速度环控制器K_P	50
位置环系统增益b₀	1
位置环LESO观测器带宽ω₀/rad	50
位置环控制器K_P	10

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下面对比LADRC与PI控制器在电流环、转速环、位置环的控制效果。

首先对比LADRC电流控制器与PI电流控制器的电流控制效果。如图1所示，阶跃电流幅值命令设为10 A，当LADRC电流环带宽与PI电流环带宽相同时，两种控制器的电流控制效果几乎等价，因此可以优先考虑PI控制器，以减少电流环计算量。

图1

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图1 LADRC电流控制器与PI电流控制器的电流控制效果对比

保持上述LADRC和PI电流控制器参数不变，增加LADRC和PI速度控制器，并将LADRC和PI控制器的速度环带宽调节至相近，则基于PI电流环、速度环的转速控制效果；基于LADRC电流环、速度环的转速控制效果；基于LADRC速度环和PI电流环的转速控制效果如图2所示。

图2

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图2 LADRC速度控制器与PI速度控制器的转速控制效果对比

如图2所示，阶跃转速命令设为100 rad/s，虽然PI转速控制器和LADRC转速控制器对转速阶跃命令响应的上升时间相同，但是PI控制器会导致明显的振荡和超调，这是由于PI控制器无法像LADRC控制器一样，把速度环转化为一阶系统。因此在速度控制上，LADRC控制器具有更好的动态性能。另外，图2也展示了PI电流控制器与LADRC速度控制器组合的控制效果，其控制效果与电流、转速均由LADRC控制的效果等价，进一步说明了LADRC和PI控制对电流控制的等价性。

为了测试LADRC和PI速度控制器对扰动的鲁棒性，在t=4 s时开始增加电机负载，则电机电流也随之增加。如图2所示，随着负载和电流的爬升，基于PI速度控制器的转速有明显波动，而基于LADRC转速控制器的转速控制结果展现出明显的抗干扰性。

保持上述LADRC和PI控制器参数不变，增加LADRC和PI位置控制器，则基于PI电流、速度、位置控制器的位置环控制效果；基于LADRC电流、转速、位置控制器的位置环控制效果；基于LADRC电流、位置控制器和PI速度控制器的位置环控制效果如图3所示。

图3

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图3 LADRC位置控制器与PI位置控制器的位置控制效果对比

如图3所示，阶跃位置命令设为100 rad，并将基于PI位置控制器和LADRC位置控制器的位置阶跃响应时间调节至相近，则基于PI三环控制的速度响应峰值最大，基于LADRC三环控制的速度响应峰值次之，基于LADRC电流、位置控制器和PI速度控制器的电流响应峰值最小。这主要是由于PI位置环没有前馈扰动补偿和PI速度环调节时间较长导致。同样地，为了验证LADRC和PI位置控制器对扰动的鲁棒性，在t=4 s时开始增加电机负载。三种控制方式的控制效果如图4所示。

图4

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图4 LADRC位置控制器与PI位置控制器在扰动下的控制效果对比

如图4所示，基于LADRC的三环控制对扰动具有很强的鲁棒性，在扰动下位置波动和转速波动都最小。基于LADRC电流、位置控制器和PI速度控制器的三环控制对扰动具有一定的鲁棒性。基于PI的三环控制对扰动的鲁棒性最弱。因此基于LADRC位置控制相对于PI控制器的位置控制也有明显的优势。

5 结论

本文将线性自抗扰控制理论应用在永磁同步电机控制系统中，给出了电流环、速度环和位置环的LADRC控制器设计方法。并通过分析仿真结果的方式探究了LADRC与PI控制器相互组合对伺服电机位置控制的影响，从仿真结果中得出以下结论。

(1) LADRC与PI作为电流内环效果几乎等价。

(2) 对于速度环与位置环而言，LADRC控制器的动态性能和对扰动的鲁棒性相对PI控制器具有明显的优势。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

葛凯华.

高精度转台用低速永磁同步电机伺服系统研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2022.