随着工业技术的不断发展,两自由度运动驱动技术的需求不断显现^[1]。两自由度电机具有结构简单、不需要传动机构、效率高的优点,在机器人^[2]、数控机床、自动变速箱^[3]方面具有广阔的应用前景。

文献[4]提出一种直线–旋转永磁同步电机的解耦控制方法,在分析旋转部分转矩与直线部分推力的基础上^[5],建立一种两向坐标系变换矩阵实现对直线运动部分与旋转运动部分的解耦。文献[6]针对一种旋转-直线开关磁阻电机,采用特殊的供电策略来降低旋转运动与直线运动之间的相互影响,以此实现旋转运动与直线运动的相互解耦。

文献[7]提出一种双电枢旋转–直线感应电机^[8]的恒压频比控制方法。由于旋转运动部分与直线运动部分单独供电,因此可以对旋转部分与直线部分单独建模,但是并没有考虑旋转运动与直线运动之间的耦合关系。

本文针对两自由度直驱感应电机^[9]的特有结构,建立耦合模型分析行波磁场对运动轴旋转运动的影响,推导该电机转子磁场定向坐标系下的数学模型,在Matlab中搭建该电机的矢量控制系统,并加入对耦合效应的补偿。

两自由度直驱感应电机的结构如图1所示。电机由旋转运动弧形定子、直线运动弧形定子和运动轴组合而成。旋转部分定子绕组通电时,运动轴输出旋转运动。直线部分定子绕组通电时,运动轴输出直线运动。当旋转部分定子绕组与直线部分定子绕组同时通电时,运动轴输出螺旋运动。因此该电机可以提供旋转运动、直线运动和螺旋运动三种运动形式。

当旋转部分绕组通入127V/50Hz的电源,直线部分绕组在通电和不通电两种情况下运动轴的空载旋转速度如图2所示。

如图2所示,当旋转部分绕组通127V/50Hz电源,直线部分绕组不通电时,运动轴的旋转速度为4 600°/s;当旋转部分绕组通入127V/50Hz电源,而直线部分绕组通入127V/50Hz电源时,则运动轴的旋转速度为3 300°/s,运动轴的旋转速度出现了显著的下降。这是由于直线部分绕组通电引起,因此推测直线部分的行波磁场会影响到旋转运动。

图3所示为两自由度直驱感应电机的侧视图。图中点划线框内为直线部分定子与旋转部分定子的端部部分。

当旋转部分绕组通电时,运动轴产生旋转运动。如果此时直线部分绕组通电,直线部分定子内会产生行波磁场。由于运动轴旋转速度的存在,运动轴的导电层会由无行波磁场区域进入到行波磁场区域,必然会受到来自行波磁场的阻力。因此可以推测,运动轴旋转运动速度下降的原因是因为运动轴旋转运动时受到来自行波磁场的阻力矩。

为进一步分析这种现象,将图3中点划线框内的部分展开,如图4所示。

当导电层由无行波磁场区域进入到行波磁场区域,在直线部分定子端部处的导电层内会产生涡流,并受到行波磁场的阻力。

导电层相当于由无数个导体组成, 当导电层进入直线部分行波磁场时,导体会切割行波磁场。假设此时导电层上有一段导体,它的长度为L。在某一时刻,该处的磁感应强度为B,导电层的运动速度为v,导体内的感应电动势为e,则

E=BLv（1）

此导体受到的力为

（2）

式中,R为此段导体的电阻值。

在此时刻,导电层所受到的力为

（3）

式中,K为在端部涡流部分的导体个数。

联立式（2）、式（3）,可得

（4）

其中, 。

由式（4）可知,在行波磁场强度不变的情况下, k的值也不会发生变化。

通过上述分析可知,旋转运动受到的阻力矩T1与运动轴旋转速度成正比,即

（5）

式中,ks为旋转耦合系数,其值与行波磁场磁感应强度有关;n为运动轴旋转速度。旋转部分的电磁转矩需要修正为

（6）

由于旋转部分定子与直线部分定子结构类似,因此运动轴的直线运动同样会受到来自旋转磁场的阻力,并且该阻力大小与直线运动的速度成正比。因此直线部分的电磁推力需要修正为

（7）

式中,kl为直线耦合系数,其值与旋转磁场磁感应强度有关;v为运动轴直线速度;ks与kl能够通过实际测定的方法得到。

由于旋转部分绕组与直线部分绕组是单独供电,因此两自由度直驱感应电机可以等效为一个旋转弧形直线感应电机和一个直线弧形直线感应电机。如图5、图6所示,二者均可以等效为平板直线感应电机。因此可以在直线感应电机的数学模型基础上,推导出考虑耦合效应两自由度直驱感应电机的数学模型。

在转子磁场定向时,规定d轴为转子磁链方向,则此时q轴无磁链分量,因此纵向边端效应只影响到d轴,对q轴没有影响。转子磁场定向坐标系下两自由度直驱感应电机的数学模型为

（1）旋转部分电压方程为

（8）

式中,(u1d,u1q)、(i1d,i1q)、(Ψ1d,Ψ1q)、ωs为旋转部分两相同步坐标系下的一次电压、一次电流、一次磁链和同步旋转角速度;(i2d,i2q)、ΨRr、ω1为旋转部分dq坐标系下的转子电流、磁链和转子角速度。f (Q1)为考虑旋转部分纵向端部效应的修正系数^[10]。

（2）直线部分电压方程为

（9）

式中,(u3d,u3q)、(i3d,i3q)、(Ψ3d,Ψ3q)、ωl为直线部分dq坐标系下的一次电压、电流、磁链和同步旋转角速度;(i4d,i4q)、ΨLr为直线部分dq坐标系下的二次电流、二次磁链,ω2为直线部分次级角速度;f (Q2)为考虑直线部分纵向端部效应的修正系数。

（3）旋转部分磁链方程为

（10）

式中,L1、Lsm、L2分别为旋转部分同步坐标系下一次电感、一次与二次互感、二次电感。

（4）直线部分磁链方程为

（11）

式中,L3、Llm、L4分别为直线运动部分两相同步坐标系下一次电感、一次与二次互感、二次电感。

考虑到旋转部分与直线部分的耦合效应,dq坐标系下旋转部分的转矩方程与直线部分的推力方程为

（12）

（13）

式中,ksn为行波磁场对旋转运动的阻力矩;klv为旋转磁场对直线运动的阻力。

（5）旋转部分的转子磁链为

（14）

（6）直线部分的二次磁链为

（15）

由于纵向边端效应以及耦合效应的影响,仅仅控制i1q与i3q难以达到控制转矩与推力的目的。因此,需要在矢量控制系统中对其进行补偿,由式（13）、式（14）变换可得

（16）

（17）

其中, 、 分别补偿旋转运动部分和直线运动部分的纵向端部效应;ksn补偿行波磁场对旋转运动的阻力矩;klv补偿旋转磁场对直线运动的阻力。两自由度直驱感应电机的控制系统如图7所示。

本文所采用的转子磁场定向矢量控制方法,将磁链与转矩解耦,保持旋转部分的转子磁场与直线部分的二次磁场不变。由于耦合系数ks只与行波磁场强度有关,耦合系数kl只与旋转磁场有关, 所以在转子磁场定向控制系统中,耦合系数ks、kl的值保持不变,其中ks = 0.009 222,kl = 11.897。

为验证所建立旋转部分矢量控制系统的速度跟踪性能,初始给定旋转速度为400r/min,在1.5s时,给定旋转速度为600r/min。转矩补偿曲线如图8所示,旋转速度响应曲线如图9所示。

如图8所示,当旋转速度为400r/min时,旋补偿转矩为3.6N·m,当旋转速度为600r/min时,补偿转矩增大为5.5N·m。如图9所示,在加入转矩动态补偿后,旋转速度能够快速跟踪给定的旋转速度,验证了所建立的旋转部分矢量控制系统的正确性。

为验证所建立直线部分矢量控制系统的速度跟踪性能,初始给定直线速度为0.8m/s,在1.5s时,给定直线速度为1m/s。推力补偿曲线如图10所示,转速响应曲线如图11所示。

如图10所示,当直线速度为0.8m/s时,直线推力补偿为9.5N,当直线速度为1m/s时,直线推力补偿约为12N。如图11所示,在加入推力的动态补偿后,直线速度能够快速跟踪给定的旋转速度,验证了直线部分矢量控制系统的正确性。

本文分析了两自由度直驱感应电机的直线部分与旋转部分之间的耦合影响,直线运动会受到来自旋转磁场的阻力,阻力的大小与直线速度成正比,旋转运动会受到来自行波磁场的阻力矩,阻力矩大小与旋转速度成正比,在此基础上,修正了旋转部分的转矩方程和直线部分的推力方程。

本文推导出两自由度直驱感应电机在转子磁场定向坐标系下的数学模型,通过Matlab仿真平台建立两自由度直驱感应电机的矢量控制系统,并加入了对耦合效应的补偿。仿真结果表明,旋转速度和直线速度均能快速跟踪给定速度,验证了所提矢量控制方法的可实施性。

两自由度电机精确控制系统在工业中具有广泛的应用场景,本文所探讨的考虑耦合效应的矢量控制方法可以为两自由度直驱感应电机的驱动系统设计提供一些参考。