一种新型趋近律的PMSM模糊自适应终端滑模控制*

doi:10.11985/2023.04.009

一种新型趋近律的PMSM模糊自适应终端滑模控制^*

冯琪茗^,¹, 董秀成^,¹^,², 刘元^,¹

1.西华大学电气与电子信息学院成都 610039

2.四川大学锦江学院电气与电子信息工程学院眉山 620860

A Novel Reaching Law of PMSM Fuzzy Adaptive Terminal Sliding Mode Control

FENG Qiming^,¹, DONG Xiucheng^,¹^,², LIU Yuan^,¹

1. School of Electrical and Electronic Information, Xihua University, Chengdu 610039

2. School of Electric and Electronic Information Engineering, Sichuan University Jinjiang College, Meishan 620860

通讯作者: 董秀成，男，1963年生，硕士，教授。主要研究方向为智能控制和信息处理。E-mail：dxc@mail.xhu.edu.cn

收稿日期: 2023-09-21 修回日期: 2023-11-19

基金资助:

*国家自然科学基金(11872096)
四川省中央引导地方科技发展专项(2021ZYD0034)
四威高科-西华大学产学研联合实验室(2016-YF04-00044-JH)

Received: 2023-09-21 Revised: 2023-11-19

作者简介 About authors

冯琪茗，男，1997年生，硕士研究生。主要研究方向为永磁同步电机无传感器控制。E-mail：827587776@qq.com

刘元，男，2000年生，硕士研究生。主要研究方向为永磁同步电机无传感器控制。E-mail：1504096693@qq.com

摘要

针对传统永磁同步电机滑模控制方法产生抖振现象和外界干扰带来的一些不确定的影响，提出了一种新的模糊滑模控制器设计方法。首先，基于滑模控制和模糊控制两大理论，在转速环引入全局快速终端滑模控制，并设计一种新型复合趋近律，在削弱抖振的同时，又能使系统在有限时间内快速达到稳态；然后以Lyapunov函数导数的绝对值为补偿构建了自适应干扰估计项，对外界干扰进行准确估计，进而设计了全局快速终端模糊滑模控制器，通过仿真对比试验，验证该控制器能快速收敛到稳定状态，而且能够有效地抑制传统滑模控制器的抖振情况，验证了所提方法的有效性。

关键词： 永磁同步电机; 滑模控制; 模糊控制; 新型复合趋近律; 全局快速终端滑模控制器

Abstract

A new fuzzy sliding mode controller design method for permanent magnet synchronous motor(PMSM) is proposed to solve the problems caused by chattering and external interference. Firstly, based on the two theories of sliding mode control and fuzzy control, global fast terminal sliding mode control is introduced into the speed ring, and a new compound reaching law is designed, which can weaken buffeting and make the system reach steady state quickly in a finite time. Then, the absolute value of the derivative of the Lyapunov function is used as compensation to construct an adaptive interference estimator to accurately estimate the external interference, and then a global fast terminal fuzzy sliding mode controller is designed. Through simulation and comparison experiments, the controller can quickly converge to a stable state and effectively suppress the buffeting of the traditional sliding mode controller, which verifies the effectiveness of the proposed method.

Keywords： Permanent magnet synchronous motor; sliding mode control; fuzzy control; new compound reaching law; global fast terminal sliding mode controller circuit breaker

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本文引用格式

冯琪茗, 董秀成, 刘元. 一种新型趋近律的PMSM模糊自适应终端滑模控制^*[J]. 电气工程学报, 2023, 18(4): 74-83 doi:10.11985/2023.04.009

FENG Qiming, DONG Xiucheng, LIU Yuan. A Novel Reaching Law of PMSM Fuzzy Adaptive Terminal Sliding Mode Control[J]. Chinese Journal of Electrical Engineering, 2023, 18(4): 74-83 doi:10.11985/2023.04.009

1 引言

永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)由于效率高、转矩能力大、构造简易、功率密度高等优点，通常用于高性能应用中^[1]。因此，为了在设计过程和实施中提高效率，需要对PMSM进行速度控制。在电机控制领域中，PI控制器一直因其结构简单、调节方便而备受青睐，但是，传统PI控制器仍然存在大量的问题，在现实控制中，大多数系统都是非线性系统，而PI控制器属于线性控制器，用线性控制非线性，会导致精度降低。而且在实际控制中，传统PI控制器无法应对系统参数变化带来的问题。在高精度控制场景下，PI控制器已经无法胜任^[2]。

随着现代控制理论的发展，为解决传统PI控制器的不足，大量学者开始结合现代控制理论研究新的控制器，如神经网络控制、预测控制、模糊控制、滑模控制(Sliding mode control，SMC)等^[3⇓⇓-6]；从首次提出到现在，经过长期的发展，SMC一直是控制领域无法绕开的话题。SMC也被称为变结构控制，因其对系统自身参数变化和外部扰动不敏感，具有响应快速、鲁棒性强和容易实现的优点，广泛应用于PMSM控制系统中，而且其控制的优越性也得到了证实^[7]。但是传统SMC仍然存在问题，一是在满足稳定性条件下，必须使滑模切换增益大于系统不确定项的上界，这样会造成SMC产生严重的抖动^[8]。二是由于传统SMC采取的滑模面是线性的，所以会存在收敛速度慢的问题，只有在时间趋于无穷时，误差才会收敛到零^[9-10]。

在解决传统SMC问题的研究过程中，国内外学术专家付诸了很多的努力，也取得了诸多的研究成果。针对滑模抖振问题，研究发现是由于系统状态轨迹在滑模面上做高频切换运动而产生的，为了抑制因抖振产生的影响，文献[11]提出了一种基于新型变速趋近律的滑模控制器，选取变带宽的趋近方式，能够很好地抑制稳态转矩脉动。文献[12]提出采用可变边界层的饱和函数取代传统的符号函数来抑制抖振，虽然抖振在一定程度上能够得到抑制，但系统的响应速度比较慢。文献[13]提出采用分数阶终端滑模控制，并设计基于半正定屏障函数的自适应控制，对不确定扰动的上界进行估计来削弱不确定性因素对系统的影响，可以保证跟踪误差在有限时间得到收敛，避免过高的控制增益估计且削弱了系统抖振。文献[14]提出一种新型的模糊滑模速度控制器，通过系统状态量到达滑模面的距离和滑模增益来设定模糊规则，使得滑模趋近速度可以进行动态调整，然后选取连续的sigmoid函数取代不连续的符号函数，让系统可以进行平滑切换，提高了控制系统的响应速度并且增强了控制系统的抗干扰能力。

目前，无传感器策略是一种可测量变量技术，对消除布线和降低信号噪声起到了较大的作用^[15-16]。国内外的学者们在对无传感器控制技术的研究过程中，也取得了诸多的研究成果。例如，文献[17]提出一种新型指数型函数，该方法可以降低滑模函数带来的抖振。文献[18]提出一种新型方波注入法，该方法可以降低高频电压矢量信号畸变，提高观测器估计角度的精度。文献[19]提出了改进型滑模观测器，该观测器在抑制抖振的同时，也能提高算法的估计精度。

本文在模糊滑模控制的基础上，提出了一种改进的算法。一是在全局快速终端滑模控制的基础上，根据文献[20]所提趋近律，设计了一种新的复合趋近律，很大程度上提高了系统的收敛速度，为抑制抖振问题，采用将饱和函数放入幂次项中，实现了和幂次趋近律相同的性质，抖振也能得到很好的抑制。二是根据线性化反馈技术，以误差函数导数的绝对值为补偿构建了自适应干扰估计项，并将估计结果作为补偿传递到速度控制器，避免开关增益的使用，试验仿真表明，本文所设计速度控制器能使电机转动抖振得到有效削弱，电机控制系统的动态响应能力和稳定性得到提高。

2 PMSM数学模型

三相永磁同步电机是一种非线性、强耦合的多变量系统，并且结构较为复杂，为了便于分析，常常将三相PMSM看为理想型电机，同时满足理想条件。为了方便控制器的设计，需要选取合适的坐标变换对三相PMSM的数学模型进行解耦和降阶变换，本文采取同步旋转坐标系对其进行解耦与降阶，故PMSM的数学模型在d-q旋转坐标系下可以表示为

(1)

\{\begin{cases} \frac{d i_{d}}{d t} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} i_{d} + \frac{u_{d}}{L_{s}} + p_{n} ω_{m} i_{q} \\ \frac{d i_{q}}{d t} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} i_{q} + \frac{u_{q}}{L_{s}} - p_{n} ω_{m} i_{d} - p_{n} ω_{m} ψ_{f} \\ \frac{d ω_{m}}{d t} = \frac{3}{2 J} p_{n} ψ_{f} i_{q} - \frac{1}{J} T_{L} \end{cases}

式中， $u_{d}$ 与 $u_{q}$ 分别表示对应的d轴、q轴电压， $i_{d}$ 与 $i_{q}$ 分别表示对应的d轴、q轴电流， $ω_{m}$ 表示机械角速度， $ψ_{f}$ 表示永磁体磁链， $p_{n}$ 表示极对数， $R_{s}$ 表示定子电阻， $L_{s}$ 表示定子电感，J表示转动惯量， $T_{L}$ 表示负载转矩。

3 新型复合趋近律的设计与分析

3.1 传统滑模趋近律

一般来说，传统滑模控制器的设计主要有两个部分，一是滑模面的选取，二是趋近律的选择，前者保证系统误差的收敛，而后者则保证滑模趋近运动的动态品质。传统滑模趋近律通常选择高为炳院士提出的指数趋近律，如下所示

(2)

\dot{s} = - ε sgn (s) - q s

式中， $ε 、 q$ 为任意正实数， $sgn (\cdot)$ 代表符号函数。

假设系统状态在t时刻到达滑模面，对式(2)在0到t进行积分可得到达时间t为

(3)

t = \frac{1}{q} \ln (1 + \frac{q}{ε} | s (0) |)

式中， $s (0)$ 为t=0时刻滑模面的初始位置。

由式(3)可知，若要减小到达滑模面的时间，则需要增大 $ε$ ，但过大的 $ε$ 值又会使系统产生剧烈的抖振现象，使系统的抗干扰能力降低。

3.2 新型复合趋近律

基于上述指数趋近律的缺点，本文提出了一种新型复合趋近律

(4)

\{\begin{cases} \dot{s} = - f (x, s) sat (s) - a | s |^{α sat (| s | - 1)} s - q s \\ f (x, s) = \frac{k}{b + (\frac{1}{g (x)} - b) exp(- β | s |)} \\ g (x) = \frac{| x |}{| x | + δ} \end{cases}

式中， $a > 0$ ， $0 < α < 1$ ， $0 < b < 1$ ， $k > 0$ ， $β > 0$ ， $x$ 为系统状态， $δ$ 为可变项系数， $sat (s)$ 为饱和函数，表达式为

(5)

sat (s) = \{\begin{cases} sign (s) | s | > δ \\ \frac{s}{δ} | s | \leq δ \end{cases}

相比于符号函数，采用饱和函数可以保证在边界层里面使用线性控制，在边界层外面使用切换控制，从而可以抑制由于滑模面切换运动所带来的抖动。

由式(4)可知，新型复合趋近律由三部分构成，当系统状态远离滑模面时， $- a | s |^{α sat (| s | - 1)} s$ 起主要作用，即当 $| s | > 1$ 时，趋近律约等于 $- a | s |^{α} s$ ，故状态变量能很快地收敛到滑模面，从而保证系统有更短的到达时间，增强了系统的动态响应性能。而当系统状态趋近滑模面时， $f (x, s) \approx k g (| x |)$ ，故趋近律约等于 $k g (| x |)$ ，在控制律的作用下， $| x |$ 将会逐渐趋近于零，所以趋近速度也会逐渐趋近于零，能有效解决因固定增益带来的抖振问题。

为验证所提趋近率的效果，在Simulink中进行仿真，不同趋近率下滑模函数的收敛过程如图1所示。

图1

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图1 不同趋近律下s变化曲线

由图1可知，与传统指数趋近律相比，新型复合趋近律的趋近速度和响应速度有明显的提升。

4 自适应全局快速终端模糊滑模控制器的设计与分析

4.1 传统滑模控制器

定义电机系统的状态变量为

(6)

\{\begin{cases} x = ω_{re} - ω_{m} \\ \dot{x} = - {\dot{ω}}_{m} \end{cases}

式中， $ω_{re}$ 表示电机的参考转速， $ω_{m}$ 表示电机的实际转速。

根据式(1)和式(6)可知

(7)

\{\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = - {\dot{ω}}_{m} = \frac{1}{J} (T_{L} - \frac{3}{2} p_{n} ψ_{f} i_{q}) \\ {\dot{x}}_{2} = - {\ddot{ω}}_{m} = - \frac{3}{2} p_{n} ψ_{f} {\dot{i}}_{q} \end{cases}

定义 $u = {\dot{i}}_{q}$ ， $D = \frac{3}{2} p_{n} ψ_{f}$ ，则式(7)可写成

(8)

\{\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = - D u \end{cases}

传统滑模控制一般选取滑模面为

(9)

s = c x_{1} + x_{2}

式中， $c > 0$ 。

选取指数趋近率使PMSM驱动系统具有较好的动态品质，故控制器的表达式为

(10)

u = \frac{1}{D} [c x_{2} + ε sgn (s) + q s]

式中， $ε 、 q > 0$ 。

q轴参考电流可由传统的滑模控制器获得

(11)

i_{q}^{*} = \frac{1}{D} \int_{0}^{t} [c x_{2} + ε sgn (s) + q s] d τ

由滑模到达条件 $s \dot{s} < 0$ ，可以很容易验证在式(11)的作用下，控制系统是渐进稳定的。

4.2 全局快速终端滑模控制器

由于传统滑模控制器通常使用线性超平面，误差无法快速收敛至零界点。基于线性滑模表面和快速终端吸引子设计全局快速终端滑模控制器，以保证控制系统在有限时间内从任意初始状态迅速达到平衡状态。

定义全局快速终端滑模面函数为

(12)

s = \dot{x} + α x + β x^{\frac{q}{p}}

式中， $α > 0$ ， $β > 0$ ， $\frac{q}{p}$ 为正奇数且 $q < p < 2 q$ 。

在系统状态趋近于平衡点的情况下，收敛时间的确定由 $\dot{x} = - α x$ 占主导地位；在系统状态离开平衡点的情况下，收敛时间由 $\dot{x} = - β x^{\frac{q}{p}}$ 占主导地位，故有

(13)

\dot{s} = \ddot{x} + α \dot{x} + β \frac{q}{p} x^{\frac{q}{p} - 1} \dot{x}

联立式(7)、式(12)和式(13)可得全局快速终端滑模控制器(Global fast terminal sliding mode controller，GFTSMC)的表达式为

(14)

i_{q}^{*} = \frac{2 J}{3 p_{n} ψ_{f}} \int_{0}^{t} [α_{0} \dot{x} + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}} - 1} \dot{x} + α_{1} (\dot{x} + α_{0} x + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}) +

β_{1} {(\dot{x} + α_{0} x + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}})}^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}] d τ

GFTSMC采取转速误差为状态变量构建滑模面，当转速误差沿滑模面运动到平衡点时，可以得到q轴参考电流。

加入新型复合趋近率得到速度控制器表达式为

(15)

\begin{matrix} i_{q}^{*} = \frac{2 J}{3 p_{n} ψ_{f}} \int_{0}^{t} [α_{0} \dot{x} + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}} - 1} \dot{x} + α_{1} (\dot{x} + α_{0} x + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}) + \\ β_{1} {(\dot{x} + α_{0} x + β_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}})}^{\frac{q_{0}}{p_{0}}} + f (x, s) sat (s) + \end{matrix}

a | s |^{α sat (| s | - 1)} s + q s_{_{\begin{array}{l}  \end{array}}^{}}^{_{}^{\begin{array}{l}  \end{array}}}] d τ

4.3 稳定性证明

构建李雅普诺夫函数

(16)

V = \frac{1}{2} s^{2}

故有

(17)

\begin{matrix} \dot{V} = s \dot{s} = s (- f (x, s) sat (s) - a | s |^{α sat (| s | - 1)} s - q s) = \\ - f (x, s) sat (s) s - a | s |^{α sat (| s | - 1)} s^{2} - q s^{2} \leq 0 \end{matrix}

根据李亚普洛夫稳定性定理，全局快速终端滑模控制器是稳定的。

4.4 自适应扰动估计

由于在电机运转过程中，伴随着不确定项，除了外部负载带来的扰动之外，还有自身内部参数的变化带来的扰动，为了便于分析，用 $d (t)$ 来表示包含负载转矩 $T_{L}$ 的一切扰动，即

(18)

\frac{d ω_{m}}{d t} = \frac{3}{2 J} p_{n} ψ_{f} i_{q} - \frac{1}{J} d (t)

式中， $d (t)$ 是有界的，且具有某一上界 $k (t)$ ，使 $d (t) \leq k (t)$ 。

考虑扰动之后，根据式(15)设计滑模控制器为

(19)$\begin{array}{c} i_{q}^{*}=\frac{2 J}{3 p_{\mathrm{n}} \psi_{\mathrm{f}}} \int_{0}^{t}\left[\alpha_{0} \dot{x}+\beta_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}-1} \dot{x}+\alpha_{1}\left(\dot{x}+\alpha_{0} x+\beta_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}\right)+\right. \\ \beta_{1}\left(\dot{x}+\alpha_{0} x+\beta_{0} \frac{q_{0}}{p_{0}} x^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}\right)^{\frac{q_{0}}{p_{0}}}+\hat{d}(t)+f(x, s) \operatorname{sat}(s)+ \\ \left.a|s|^{\alpha \text { sat }(|s|-1)} s+q s\right] \mathrm{d} \tau \end{array}$

由式(19)可知，将扰动当作已知量反馈到控制率中，当出现外部扰动时，控制器可以及时响应扰动的变化。

由于扰动 $d (t)$ 时变不确定，为保证系统的稳定性，当 $d (t)$ 较大时，扰动上界 $k (t)$ 也要足够大，但过大的上界会造成系统的抖振，针对这一问题，将采用模糊理论的模糊推理来解决。

为消除系统抖振， $k (t)$ 应随着扰动 $d (t)$ 的变化而变化，且 $k (t)$ 必须时刻大于扰动 $d (t)$ 。为保证估计扰动处处大于实际扰动，设计一种自适应扰动估计办法，首先采用李亚普诺夫函数的导数作为系统的输入，系统的输出为 $Δ k (t)$ ，其次采用模糊系统将切换项导数的绝对值作为优化项，进而使得出的估计值更加接近真实的扰动值，减小系统抖振。

设基础的模糊系统由IF-THEN形式的模糊规则构成R⁽^j⁾：IF $x_{1}$ is $A_{1}^{j}$ and ∙∙∙ and $x_{n}$ is $A_{1}^{j}$ THEN y is $B^{j}$ 。

选取乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为

(20)

y (x) = \frac{\sum_{j = 1}^{m} y^{j} (\prod_{i = 1}^{n} μ_{A_{i}^{j}} (x_{i}))}{\sum_{j = 1}^{m} (\prod_{i = 1}^{n} μ_{A_{i}^{j}} (x_{i}))}

式中， $μ_{A_{i}^{j}} (x_{i})$ 为 $x_{i}$ 的隶属度函数。

引入模糊向量 $ξ (x)$ ，式(20)变为

(21)

y (x) = θ^{T} ξ (x)

式中， $θ = {(y^{1}, \dots, y^{m})}^{T}$ ， $ξ (x) = (ξ^{1} (x), \dots, ξ^{m} {(x))}^{T}$ 。

(22)

ξ^{i} (x) = \frac{\prod_{i = 1}^{n} μ_{A_{i}^{j}} (x_{i})}{\sum_{j = 1}^{m} (\prod_{i = 1}^{n} μ_{A_{i}^{j}} (x_{i}))}

根据线性化反馈技术，并且采用模糊系统逼近，本文使用积分的方法对 $k (t)$ 进行估计，则

(23)

\hat{k} (t) = C \int_{0}^{t} | \dot{V} | Δ k d t

在估计值 $\hat{k} (t)$ 的基础上加一个很小的常数 $η$ ( $η > 0$ )得到扰动估计值 $\hat{d} (t)$ ，确保 $\hat{d} (t)$ 处稍大于实际扰动 $d (t)$ ，如下所示

(24)

\hat{d} (t) = \hat{k} (t) + η

根据模糊逼近理论，自适应模糊系统可以实现使逼近误差非常小。因此 $\dot{V} \leq 0$ 。

基于模糊理论设计如下系统。

根据模糊规则，以 $\dot{V}$ 为输入， $Δ k$ 为输出，模糊集设置如下

(25)

\dot{V} = {NB ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ NM NS ZO PS PM PB}

(26)

Δ k = {NB ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ NM NS ZO PS PM PB}

式中，NB、 $NM$ 、 $NS$ 、 $ZO$ 、 $PS$ 、 $PM$ 、 $PB$ 分别对应的是负大、负中、负小、零、正小、正中、正大，隶属度函数图像如图2所示。

图2

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图2 隶属度函数

为了使估计值更靠近真实值，设计如下的模糊规则，如表1所示。为了使PMSM系统迅速调节到稳定状态，应该快速增大 $\hat{k} (t)$ ，也就意味着 $Δ k$ 迅速增大，故当 $\dot{V}$ 为 $PM$ 和 $PB$ 时， $Δ k$ 为 $PB$ 。而当 $\dot{V}$ 为 $PS$ 时， $Δ k$ 可保持不变。相应地，为使抖振得到快速削弱， $Δ k$ 应迅速减小，故当 $\dot{V}$ 为 $NM$ 和 $NB$ 时， $Δ k$ 为 $NB$ 。同理，当 $\dot{V}$ 为其他值时， $Δ k$ 可保持跟随。

表1 永磁同步电机参数

参数	状态
$\dot{V}$	NB	NM	NS	ZO	PS	PM	PB
$Δ k$	NB	NB	NS	ZO	PS	PB	PB

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综上所述，自适应全局快速终端模糊滑模控制器(Adaptive global fast terminal fuzzy sliding mode controller，AGFTFSMC)结构图如图3所示。

图3

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图3 控制器结构框图

5 超螺旋滑模观测器的设计

由于传统滑模观测器观测的反电动势带有不连续的高频信号，这些高频信号的滤除过程会影响观测精度^[21]，故本文采用超螺旋滑模观测器代替传统滑模观测器。

超螺旋算法的数学表达式如下

(27)

\{\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = - k_{1} | {\tilde{x}}_{1} |^{\frac{1}{2}} sgn ({\tilde{x}}_{1}) + x_{2} + ρ_{1} (x_{1}, t) \\ {\dot{x}}_{1} = - k_{2} sgn ({\tilde{x}}_{1}) + ρ_{2} (x_{2}, t) \end{cases}

式中， $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 表示滑模增益， $ρ_{1} (x_{1}, t)$ 、 $ρ_{2} (x_{2}, t)$ 表示外部扰动项。式(27)中扰动项满足

(28)

\{\begin{cases} | ρ_{1} | \leq σ_{1} | x_{1} |^{\frac{1}{2}} \\ ρ_{2} = 0 \end{cases}

式中， $σ_{1}$ 表示任意正常数，式(27)中的增益满足

(29)

\{\begin{cases} k_{1} > 2 σ_{1} \\ k_{2} > k_{1} \frac{5 k_{1} σ_{1} + 4 σ_{1}^{2}}{2 (k_{1} - 2 σ_{1})} \end{cases}

式(27)所述系统中，由于原点是一个平衡点，所以该点在全局上具有逐渐趋近稳定的特性，故系统经过一段时间后，其状态变量的值将会趋向于零，并最终稳定在原点处。系统状态的稳定性可以通过控制系统的设计和参数调整来实现。

超螺旋滑模观测器设计如下所示

(30)

\{\begin{cases} \frac{d {\hat{i}}_{α}}{d t} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} {\hat{i}}_{α} + \frac{u_{α}}{L_{s}} - (α_{1} | {\tilde{i}}_{α} |^{\frac{1}{2}} sgn + \int α_{2} sgn d t) \\ \frac{d {\hat{i}}_{β}}{d t} = - \frac{R_{s}}{L_{s}} {\hat{i}}_{β} + \frac{u_{β}}{L_{s}} - (α_{1} | {\tilde{i}}_{β} |^{\frac{1}{2}} sgn + \int α_{2} sgn d t) \end{cases}

当超螺旋滑模观测器的估计误差到达滑模面时，可以得出估计值约等于真实值，即 ${\tilde{i}}_{α} = {\tilde{i}}_{β} = 0$ ，故可以根据滑模控制的等效原理得到反电动势值，即

(31)

\{\begin{cases} E_{α} = α_{1} | {\tilde{i}}_{α} |^{\frac{1}{2}} sgn + \int α_{2} sgn d t \\ E_{β} = α_{1} | {\tilde{i}}_{β} |^{\frac{1}{2}} sgn + \int α_{2} sgn d t \end{cases}

本文采用反正切函数来获得转子位置。永磁同步电机整体控制框图如图4所示。

图4

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图4 系统控制框图

6 试验仿真及结果分析

6.1 仿真验证

在Matlab/Simulink中进行仿真研究，以验证本文所提改进算法的有效性，下面对SMC、GFTSMC、AGFTFSMC三种控制方式进行仿真对比试验，仿真中均采用超螺旋滑模观测器来获得转速和转子位置信息。

试验仿真中采用固定步长ode3算法，且固定步长时间设定为2×10^-7 s，仿真时间设定为1 s，永磁同步电机参数如表2所示。

表2 永磁同步电机参数

参数	数值
永磁体磁链φ_f/Wb	0.175
定子电感L_s/H	0.008 5
额定电压U_dc/V	311
定子电阻R_s/Ω	2.875
额定转速 $n /(r/min)$	1 000
转动惯量$ J /\left(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\right)$	0.003
极对数 $P_{n}$	4

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(1) 工况一(空载工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0升至1 000 r/min，图5、图6对比了三种控制方式的性能，可以看出采用SMC控制方式虽然响应速度较快，但出现了明显的超调，而且调节时间较长，采用全局快速终端滑模控制器虽然可以很好地抑制超调，但响应速度却降低了，而本文所提方法不仅能抑制超调，而且相比传统控制方法，响应速度也得到了提高，电磁转矩脉动也得到了抑制。

图5

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图5 三种方法转速曲线对比

图6

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图6 三种方法电磁转矩曲线对比

(2) 工况二(负载工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0升至1 000 $r/min$ ，并且在0.2 s时负载转矩从0突增至5 $N \cdot m$ 。三种控制方式的性能对比如图7、图8所示，可以看出，在突加负载后，传统SMC方法转速波动最为明显，转速下降了73 $r/min$ ，而且再次到达给定转速时间较长，采用GFTSMC方法转速波动次之，下降了18 $r/min$ ，再次达到稳定转速时间明显提高，相比之下，本文所提AGFTFSMC方法转速波动明显减小，且再次回到给定转速时间进一步缩短，达到稳定控制的效果，抗扰性能更优。

图7

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图7 三种方法转速曲线对比

图8

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图8 三种方法电磁转矩曲线对比

(3) 工况三(变转速工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0升至600 $r/min$ ，在0.1 s时转速升至1 000 $r/min$ ，在0.3 s时转速再次降至600 $r/min$ 。三种控制方式的性能对比如图9、图10所示，可以看出，在变转速状况下，采用传统SMC控制器依然存在较大的超调，抗扰性能明显不足，GFTSMC方法响应速度最慢，响应性能不足，抗干扰能力稍差，而本文所提AGFTFSMC方法响应依然更快且没有超调，能很好地适应各种工况，抗干扰性能优。通过仿真最终验证了本文所提方法具有更优的动态性能。