前置滤波器永磁同步电机的电流环参数多目标优化设计

图1 前置滤波器PMSM系统矢量控制结构框图

由式(1)~(6)可得前置滤波器PMSM系统的q轴电流环框图如图2所示。其中，PI控制器G_PI(s)如式(7)所示，逆变器G_inv(s)如式(8)所示，K_p、K_i分别为比例系数和积分系数，T_d为采样与传输延迟。

(7)

G_{PI} (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s}

(8)

G_{inv} (s) = \frac{1}{T_{d} s + 1}

图2

图2 逆变器侧电流反馈系统电流环

根据图2，由梅森公式计算可得电流环q轴开环传递函数G_q(s)，如式(9)所示

(9)

G_{q} (s) = \frac{(K_{p} s + K_{i}) (C_{f} L_{s} s^{2} + C_{f} R_{s} s + 1)}{s (T_{d} s + 1) [L_{f} C_{f} L_{s} s^{3} + L_{f} C_{f} R_{s} s^{2} + (L_{f} + L_{s}) s + R_{s}]}

本文研究的电机系统参数如表1所示。

表1 电机与滤波器参数

参数	数值
额定功率P_n/kW	1.1
额定转速n/(r/min)	500
定子电感L_s/mH	1.8
相电阻R_s/Ω	0.32
开关周期T_s/ms	0.1
极对数p	4
滤波电感L_f/mH	0.3
滤波电容C_f/μF	80

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3 电流环PI参数对系统性能的影响

3.1 电流环PI参数对系统稳定性的影响

由式(9)结合表1参数可得，前置滤波器系统的电流环开环传递函数G_q(s)如式(10)所示。其根轨迹增益K=3.124 7K_i，零点分别为z_1,2=-88.9±2 633.7i，z₃=-K_i/K_p，极点为p_1,2=-12.7±6 971.9i，p₃=-6 666.6，p₄=-152.4，p₅=0。

(10)

G_{q} (s) = \frac{3.124 7 K_{i} (\frac{K_{p}}{K_{i}} s + 1) (1.44 \times 10^{- 7} s^{2} + 2.56 \times 10^{- 5} s + 1)}{s (1.5 \times 10^{- 4} s + 1) (6.56 \times 10^{- 3} s + 1) (2.057 \times 10^{- 8} s^{2} + 5.225 \times 10^{- 7} s + 1)}

前置滤波器系统闭环传递函数如式(11)所示

(11)

G_{cq} (s) = \frac{G_{q} (s)}{1 + G_{q} (s)} = \frac{G_{q} (s)}{D (s)}

由闭环特征方程D(s)=0可知，K_p、K_i直接影响根轨迹走向，不当配置会出现右半平面极点，造成系统不稳定。由于系统特征根之和为常数，此时零点和与极点和相等，如式(12)所示

(12)

\sum_{i = 1}^{5} p_{i} = \sum_{j = 1}^{3} z_{j}

由式(12)计算得到，当K_i/K_p=6 666.6时，z₃与p₃重合；当K_i/K_p>6 666.6时，z"₃位于p₃左侧；当K_i/K_p<6 666.6时，z'₃位于极点p₃右侧。将对应三种PI参数代入式(10)，可得根轨迹曲线如图3所示。其中L_p1、L_p2，L'_p1、L'_p2，L"_p1、L"_p2分别受z₃、z'₃、z"₃影响并以p₁、p₂为起点。由图3可知，当K_i/K_p>6 666.6时，系统不稳定；当K_i/K_p=6 666.6时，系统临界稳定；当K_i/K_p<6 666.6时，系统稳定，此时根轨迹曲线位于左半平面，为最小相位系统。

图3

图3 PI参数对根轨迹的影响

式(10)所示开环传递函数分母高于分子2个阶次，幅值裕度始终满足稳定要求^[17]，保证系统稳定只需要满足约束式(13)所示相位裕度即可。

(13)

P_{m} = 180^{\circ} + ∠ G_{q} (j ω)

期望相位裕度P_m≥40°^[11]，结合最小相位系统稳定约束K_i/K_p<6 666.6，绘制PI参数取值范围如图4所示。在图4所示最小相位系统内，取P_m≥40°箭头所示区域作为本文所提方法的PI参数稳定域。

图4

图4 满足稳定条件的PI参数取值范围

3.2 电流环PI参数对谐振峰值的影响

前置滤波器会使系统在谐振频率ω_res处产生较大谐振峰值，ω_res可表示如下^[18]

(14)

ω_{res} = \sqrt{\frac{L_{f} + L_{s}}{L_{f} L_{s} C_{f}}}

由式(14)可得到本文系统ω_res=6 972 rad/s，对应1 109 Hz。根据式(10)所示系统开环幅频特性，谐振峰值M_r可通过式(15)计算得出。

(15)

M_{r} = 20 \lg |G_{q} (j ω_{res})|

谐振峰会影响电流谐波幅值和谐波畸变率^{[3⇓⇓⇓-7]}，应在保证系统稳定基础上削减谐振峰值。由式(15)绘制M_r与PI参数关系如图5所示，可见，M_r与K_p和K_i有关，且K_p影响更明显，K_p应取小以降低M_r。

图5

图5 PI参数对谐振峰值的影响

3.3 电流环PI参数对系统动态性能的影响

动态性能由超调量σ%、上升时间t_r和调节时间t_s描述^[19-20]，可由式(16)所示时域特性表达式得到，其中1/s为单位阶跃输入传递函数，c(t)为系统输出，L^-1为拉普拉斯反变换算子。

(16)

c (t) = L^{- 1} (\frac{1}{s} \cdot \frac{G_{q} (s)}{1 + G_{q} (s)})

在图4所示P_m≥40°区域内，选取三组K_i相同、K_p不同和K_p相同、K_i不同的PI参数，由式(16)绘制单位阶跃响应曲线如图6所示。可见，当K_i不变时，σ%、t_s和t_r均随K_p增大而减小；当K_p不变而K_i增大时，σ%随之增大，t_s和t_r随之减小。绘制PI参数与动态性能指标的三维关系如图7所示，结合图6可见，K_p越小或K_i越大时，σ%越大，t_s和t_r越小。

图6

图6 PI参数对动态特性的影响

图7

图7 PI参数与系统动态特性的关系

3.4 电流环PI参数对系统带宽的影响

电流环带宽取闭环幅频特性-3 dB或相频特性-90°对应频率中的较小值^[13]，即

(17)

\{\begin{cases} ω_{b} = \min (ω_{b 1}, ω_{b 2}) \\ 20 \lg |G_{cq} (j ω_{b 1})| = - 3 dB \\ ∠ G_{cq} (j ω_{b 2}) = - 90 ° \end{cases}

本文电机额定转速为500 r/min，对应角频率为209.4 rad/s，带宽 $ω_{b}$ 取值应满足如下条件

(18)

ω_{b} > 209. 4 rad/s

应用与图6相同的PI参数，绘制闭环系统伯德曲线如图8所示。图8a为K_i不变时K_p对电流环带宽的影响。可见，带宽随K_p增大而变大，结合图6a可知，带宽大的系统响应速度快，上升时间和调节时间小，超调量小。

图8

图8 PI与系统闭环带宽的关系

图8b为K_p不变时K_i对带宽的影响，可见，带宽随K_i的增大而增大，结合图6b可知，带宽越大，系统响应速度越快，上升时间和调节时间越小，超调量大。因此，可通过调节PI参数，使系统具有较大的带宽，进而提高系统响应速度，获得较小上升时间t_r和调节时间t_s。

4 电流环PI参数多目标优化

由以上分析可知，前置滤波器电机系统的带宽与动态性相关，高带宽系统响应速度快、调节时间t_s和上升时间t_r短，从动态性能角度可选取带宽 $ω_{b}$ 作为优化目标，以扩展电流环带宽提高系统的动态响应^[21]。超调量σ%单独作为优化目标之一。同时，为了降低谐振峰值减小高频电流谐波，将谐振峰值也作为一个优化目标。

针对闭环带宽、超调量和谐振峰值目标，本文采用遗传算法(Genetic algorithm, GA)优化设计电流环PI参数，设计过程如下所示。

步骤1：PI参数取值范围确定。根据前述分析，系统各性能指标受PI参数的影响不同，为获得良好的综合性能，要求相位裕度P_m≥40°，带宽 $ω_{b}$ >209.4 rad/s，调节时间t_s<0.02 s，超调量σ%<2%，谐振峰值尽可能小。

绘制满足上述性能要求的PI参数范围如图9所示。其中，四个标记点所围成的四边形区域即为满足上述性能要求的约束区域，也是PI参数多目标寻优的取值范围。

图9

图9 PI参数多目标约束范围

步骤2：多目标优化模型构建。以闭环带宽 $ω_{b}$ 最大、超调量σ%和谐振峰值M_r最小作为优化目标，以图9所示约束区域作为种群取值范围，以K_p和K_i作为设计变量，构建多目标优化模型如式(19) 所示

(19)

\{\begin{cases} \max f_{1} (x) = ω_{b} (K_{p}, K_{i}) \\ \min f_{2} (x) = σ (K_{p}, K_{i}) \\ \min f_{3} (x) = M_{r} (K_{p}, K_{i}) \\ s . t . \\ (K_{p}, K_{i}) \subseteq [\begin{array}{l} R (P_{m} \geq 40 °) \cap R (σ % < 2 %) \cap \\ R (t_{s} < 0.02 s) \cap R (ω_{b} > 209.4 rad/s) \end{array}] \end{cases}

式中，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)分别为 $ω_{b}$ 、σ%和M_r的函数，描述三个优化目标与PI参数的关系；R(x)表示满足x条件的PI参数取值范围。

当在稳定域内随机取值PI参数时，对应的f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)的值可分别通过式(17)、式(16)、式(15)计算得到。

步骤3：遗传算法寻优。在图9所示PI参数多目标约束范围中，配置种群规模为30，应用式(19)对种群中个体进行评价，将性能好的个体保存到下一代，两次迭代之间数据交叉概率取为0.8，变异概率取为0.2，迭代500次。遗传算法寻优得到的PI参数解集如图10所示，其对应的优化目标数值构成图11所示Pareto前沿。根据图10和图11，考虑超调量小、谐振峰小和闭环带宽大的需求，本文选取K_p=0.556，K_i=107.04作为PI控制器参数，该取值可使系统有较小超调(σ%=0.83)和较小谐振峰值(M_r=32.7 dB)及较大带宽( $ω_{b}$ =358 rad/s)，从而保证系统良好的综合性能。

图10

图10 PI参数解集

图11

图11 Pareto前沿

5 与传统参数设计方法的性能比较

应用传统Ziegler-Nichols法设计本系统参数，如图12所示，当调节临界比例度K_c=1.5时，系统临界振荡周期T_c=0.001 s。由经验公式K_p=0.45K_c、K_i=K_p/0.833T_c可得K_p=0.675，K_i=810.3。

图12

图12 临界振荡曲线

应用传统零极点相消法设计本文系统参数时，将表1数据代入式(9)，忽略较小影响中低频段环节，传递函数极点与控制器零点抵消，将电流内环校正为一阶系统。由此，PI参数设计为K_p/K_i= 6.56×10^-3，电流环开环传递函数化简为G_qx(s)= 3.124 7K_i/s，结合式(17)可求得带宽与PI参数关系为K_i=ω_b/3.124 7。再由式(19)可绘制P_m≥40°稳定域内PI参数与带宽关系如图13所示，可以看出能实现的最大带宽约为300 rad/s，进而可计算出K_p=0.63，K_i =96。

图13

图13 PI参数与带宽的关系

三种设计方法PI参数下系统开环和闭环频域波形以及闭环时域波形分别如图14a~14c所示。其中，相位裕度和谐振峰值可由图14a获得，带宽可由图14b得到，动态性能可由图14c得到。以上性能指标如表2所示。

图14

图14 不同PI参数设计方法系统性能对比

由图14和表2可见，三种方法系统稳态误差均趋于0。Ziegler-Nichols法相位裕度较小(P_m=31.8°)，谐振峰值大(M_r=34.5 dB)，带宽大( $ω_{b}$ =721 rad/s)，响应速度快(t_r=2.4 ms)，但超调过大(σ%=37.72%)，稳态调节时间长(t_s=17.4 ms)。零极点相消法系统稳定性提高(P_m=40.9°)，谐振峰值降低(M_r=33.8 dB)，超调约为0，但带宽小( $ω_{b}$ =305 rad/s)，响应速度较慢(t_r=7.5 ms)，稳态调节时间较长(t_s=12.7 ms)。本文所提多目标优化方法通过对超调、带宽和谐振峰值进行综合寻优，系统稳定性好(P_m=41°)，谐振峰值低(M_r=32.7 dB)，带宽较大( $ω_{b}$ =358 rad/s)，并具有较好的动态性能(σ%=0.83%，t_r=6.8 ms，t_s=9.5 ms)。

表2 不同整定方法控制器性能

性能指标	Ziegler-Nichols	零极点相消	多目标优化
	K_p=0.675	K_p=0.63	K_p=0.556
	K_i=810.3	K_i=96	K_i=107.04
相位裕度P_m/(°)	31.8	40.9	41
谐振峰值M_r/dB	34.5	33.8	32.7
超调σ(%)	37.72	0	0.83
上升时间t_r/ms	2.4	7.5	6.8
调节时间t_s/ms	17.4	12.7	9.5
带宽 $ω_{b}$ /(rad/s)	721	305	358

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6 仿真验证

针对传统Ziegler-Nichols法、零极点相消法和本文多目标优化方法分别设计的PI参数，进行系统仿真。比较三组不同PI参数系统的如下性能：电流阶跃系统动态和稳态性能；正弦电流频率逐渐增加的电流环带宽；额定工况电流跟踪响应；谐振峰值和谐波抑制能力。

验证三种设计方法系统稳态和动态性能如下。图15给出了q轴给定13 A电流阶跃响应仿真波形。由图15可见，不同参数系统均具有良好稳态性能。Ziegler-Nichols法的系统响应速度快，上升时间为2 ms，但超调量过大，约为33.33%，且调节时间长达16 ms。零极点相消法的超调量基本为0，但动态性能差，响应速度慢，t_r=7 ms，t_s=13 ms。多目标优化方法基本零超调，相较于零极点相消法响应速度也大大提升，t_r=6 ms，t_s=7 ms。上述指标与表2相符。

图15

图15 阶跃响应电流仿真波形

为验证三种设计系统电流环带宽，进行如下测试^[22]。给定幅值13 A、频率从1 rad/s逐渐增大的正弦信号，直至反馈信号幅值降至0.707倍或相位滞后90°。测试得到Ziegler-Nichols法、零极点相消法和多目标优化法对应的系统带宽分别为611 rad/s、280 rad/s和325 rad/s，如图16所示。

图16

图16 不同方法带宽测试

验证三种方法系统电流环跟踪性能如下。q轴正弦给定幅值13 A、频率33.33 Hz (对应500 r/min)，电流响应如图17所示。可见，Ziegler- Nichols法可准确追踪给定信号，幅值几乎无衰减，跟踪延迟小(约为0.49 ms)，对应相位滞后5.91°。零极点相消法的系统带宽最小，跟踪电流幅值衰减约2 A，约占给定幅值的15.3%，跟踪延迟约为2.99 ms，对应相位滞后35.99°。多目标优化方法中电流幅值衰减约1.49 A，占给定幅值的11.5%，跟踪延迟约为2.49 ms，对应相位滞后29.99°，优于零极点相消法的跟踪性能。

图17

图17 电流环跟踪性能比较

三种设计方法的系统谐振性能可通过谐振频率处(ω_res=6 972 rad/s，对应1 109 Hz)的电流谐波进行比较分析。额定工况的逆变器侧q轴电流频谱如图18所示。由图18可见，Ziegler-Nichols法系统谐振峰值最大，ω_res处电流谐波幅值占比H_res=4.39%，谐波畸变率THD=10.38%。零极点相消法系统谐振峰值及谐波含量均有下降，H_res=3.81%，THD=10.18%。与两种传统方法相比，多目标方法系统谐振峰值和谐波含量更低，H_res=3.52%，THD=10.01%。

图18

图18 逆变器侧q轴电流谐波

综合上述仿真结果得到系统性能如表3所示。三种设计方法系统仿真性能与表2理论计算性能相符。其中，Ziegler-Nichols法系统带宽较大，但超调和高频谐波也最为严重。零极点相消法系统带宽小，电流响应速度较慢。多目标优化法系统可以权衡优化多项性能指标，在保证系统良好动态性能的同时，又能够有效抑制谐振峰和电流高频谐波。

表3 不同整定方法系统性能仿真比较

性能指标	Ziegler-Nichols	零极点相消	多目标优化
	K_p=0.675	K_p=0.63	K_p=0.556
	K_i=810.3	K_i=96	K_i=107.04
谐波幅值占比H_res(%)	4.39	3.81	3.52
谐波畸变率THD(%)	10.38	10.18	10.01
超调σ(%)	46.2	0	0
上升时间t_r/ms	2	7	6
调节时间t_s/ms	16	13	7
带宽ω_b/(rad/s)	611	280	325

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7 结论

针对逆变器侧电流反馈的前置滤波器永磁同步电机系统，本文提出一种电流环PI参数多目标优化设计方法，进行了理论分析和仿真验证，并与两种传统参数设计方法进行了比较，得出如下结论。

(1) 多目标优化方法可兼顾超调量、带宽、谐振、谐波、上升和调节时间等系统多个性能指标，传统Ziegler-Nichols法及零极点相消法则难以做到。

(2) 与传统Ziegler-Nichols法相比，多目标优化方法系统通过适当减小带宽及电流跟踪能力，可以大大降低超调量、谐振峰值及逆变器侧电流谐波。

(3) 与传统零极点相消法相比，多目标优化方法系统超调同样较小，电流环带宽更大，电流跟踪能力更好，谐振峰值及高频电流谐波有效降低。

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