基于高阶滑模观测器和改进PLL的永磁同步电机无传感器控制*

doi:10.11985/2023.04.011

基于高阶滑模观测器和改进PLL的永磁同步电机无传感器控制^*

李迎杰^,¹^,², 刘旭东^,¹^,²

1.青岛大学自动化学院青岛 266071

2.青岛大学山东省工业控制技术重点实验室青岛 266071

Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on High-order Sliding Mode Observer and Improved PLL

LI Yingjie^,¹^,², LIU Xudong^,¹^,²

1. School of Automation, Qingdao University, Qingdao 266071

2. Shandong Key Laboratory of Industrial Control Technology, Qingdao University, Qingdao 266071

通讯作者: 刘旭东，男，1987年生，博士，副教授。主要研究方向为电驱动系统控制、非线性控制。E-mail：xudong19871982@163.com

收稿日期: 2023-06-27 修回日期: 2023-08-19

基金资助:

*国家自然科学基金(62273189)
山东省自然科学基金(ZR2022MF262)
山东省自然科学基金(ZR2021MF005)

Received: 2023-06-27 Revised: 2023-08-19

作者简介 About authors

李迎杰，男，1997年生，硕士研究生。主要研究方向为电机驱动与运动控制。E-mail：17852028311@163.com

摘要

滑模观测器因其结构简单、鲁棒性强等优势，广泛应用于永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)无位置传感器控制中，但滑模观测器的固有抖振会影响系统的控制性能。为此，基于PMSM扩展反电动势模型，通过改进滑模面和控制律，提出了一种高阶对数滑模观测器(High order logarithmic sliding mode observer，HOLnSMO)，实现了有限时间收敛和对反电动势的平滑估计。此外，为提高转子位置和转速估计精度，在锁相环环节设计了一种基于三阶Super-twisting滑模方法的扩展状态观测器，有效抑制了转速抖振。根据Lyapunov稳定性理论证明了系统的稳定性。最后通过对比试验验证了所提无位置控制策略具有良好的转速估计精度、动态性能和鲁棒性。

关键词： 永磁同步电机; 高阶对数滑模; 扩展状态观测器; 无位置传感器

Abstract

Due to the simple structure and strong robustness, the sliding mode observer is widely used in sensorless control of permanent magnet synchronous motor(PMSM), but the inherent chattering of the sliding mode observer will affect the control performance of the system. A high order logarithmic sliding mode observer(HOLnSMO) is proposed based on extended back electromotive force model of PMSM by improving sliding mode surface and control law, which achieves finite-time convergence and smooth estimation of back electromotive force. In addition, to improve the precision of rotor position and speed estimation, an expanded state observer based on a three-order super-twisting sliding model method is designed at the phase-locked loop link and the speed chattering is effectively suppressed. The stability of the system is proved according to Lyapunov stability theory. Finally, the proposed sensorless control strategy is proved to have good speed estimation accuracy, dynamic performance and strong robustness by comparative experiments.

Keywords： Permanent magnet synchronous motor; high-order logarithmic sliding mode; extended state observer; position sensorless

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本文引用格式

李迎杰, 刘旭东. 基于高阶滑模观测器和改进PLL的永磁同步电机无传感器控制^*[J]. 电气工程学报, 2023, 18(4): 96-105 doi:10.11985/2023.04.011

LI Yingjie, LIU Xudong. Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on High-order Sliding Mode Observer and Improved PLL[J]. Chinese Journal of Electrical Engineering, 2023, 18(4): 96-105 doi:10.11985/2023.04.011

1 引言

近年来，永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)在电动汽车^[1]、风力发电^[2]和工业控制^[3]等领域得到了广泛的应用，与直流电机和感应电机相比，永磁同步电机具有效率高、功率密度大、结构简单、维修方便等优势^[4]。然而在涡轮机、智能机器人等对电机控制性能更高要求的场合，或者在位置传感器安装受到限制的领域，永磁同步电机无位置传感器控制成为了研究的热点^[5]。

近年来，模型参考自适应法^[6]、卡尔曼滤波法^[7]和滑模观测器^[8]等方法常用于永磁同步电机的无位置传感器控制，其中滑模观测器法因具有收敛速度快、鲁棒性强等优点被广泛应用，但由于其含有不连续的控制律，因此传统滑模观测器存在固有抖振，进而影响转速估计精度。文献[9]引入了饱和函数代替切换函数，设计了一种改进滑模观测器，并引入自适应律以提高响应速度，削弱了不连续控制律造成的抖振。为了充分抑制一阶滑模由于开关函数的高频切换产生的抖振现象，文献[10]引入高阶滑模算法，根据PMSM反电动势扩展模型，提出了一种改进Super-twisting滑模观测器，并引入二阶广义积分器估计反电动势，有效抑制了抖振，提高了估计精度。为解决线性滑模面不能实现有限时间收敛的问题，文献[11]将非奇异终端滑模面引入高阶滑模算法中，提出了一种高阶滑模观测器，实现了有限时间收敛，并提高了反电动势的估计精度。

另一方面，在永磁同步电机无位置传感器控制中，通常采用锁相环(Phase locked loop，PLL)估计转速和转子位置^[12]，但传统PLL估计精度较低，可通过引入低通滤波器(Low pass filter，LPF)加以改善，但会导致相位延迟和幅值衰减。为此文献[13]设计了一种自适应正交锁相环(Adaptive quadrature-phase locked loop，AQ-PLL)，可实时调整PLL的带宽，从而改善了转子位置的跟踪性能且避免了相位延迟。扩展状态观测器(Extended state observer，ESO)^[14]具有收敛速度快、不依赖准确的数学模型等优点，将其引入PLL中可提高转速和转子位置的动态跟踪性能，文献[15]根据三阶扩展模型，设计了一种高阶扩展状态观测器，其在参数整定和理论分析方面较为简便，且具有较高的估计精度，但线性扩展状态观测器(Linear extended state observer，LESO)含有线性增益项，不可避免地产生系统抖振。文献[16]基于三阶扩展模型，通过FAL函数设计了一种三阶非线性观测器，减小了系统抖振。

本文基于表贴式永磁同步电机的扩展反电动势模型，通过设计对数滑模面，提出了一种高阶对数滑模观测器，能实现状态变量的有限时间收敛，且有效提高了反电动势的估计精度，抑制了滑模抖振；此外，为了进一步提升锁相环的精度，提出了一种基于Super-twisting算法的扩展状态观测器(Super-twisting extended state observer，STESO)来代替锁相环中的PI调节器，实现了转速和转子位置的精准估计，减小了稳态误差；最后，通过Lyapunov理论证明了该方法的稳定性和有限时间收敛；试验结果表明所设计的无位置传感器控制方法在面对参数失配、突加负载和转速突变时具有较强的鲁棒性，有效提升了系统的动态性能。

2 传统滑模观测器分析

2.1 永磁同步电机的数学模型

对于表贴式永磁同步电机，基于α - β 坐标系的PMSM数学模型表示为^[17]

(1)

\frac{d}{d t} [\begin{matrix} i_{α} \\ i_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - R_{s} & 0 \\ 0 & - R_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{i_{α}}{L_{s}} \\ \frac{i_{β}}{L_{s}} \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{u_{α}}{L_{s}} \\ \frac{u_{β}}{L_{s}} \end{matrix}] - [\begin{matrix} \frac{e_{α}}{L_{s}} \\ \frac{e_{β}}{L_{s}} \end{matrix}]

式中， $i_{α}$ 、 $i_{β}$ 为定子电流在α、β 轴的分量； $u_{α}$ 、 $u_{β}$ 为定子电压在α、β 轴的分量； $L_{s}$ 为定子电感； $R_{s}$ 为定子电阻； $e_{α}$ 、 $e_{β}$ 分别为α、β 轴反电动势分量，并表示为

(2)

[\begin{matrix} e_{α} \\ e_{β} \end{matrix}] = ω_{e} ψ_{f} [\begin{array}{r} - \sin θ_{e} \\ \cos θ_{e} \end{array}]

式中， $ψ_{f}$ 为永磁体磁链； $ω_{e}$ 为电机电角速度； $θ_{e}$ 为转子位置角。

将式(1)写为矩阵形式

(3)

\frac{d i}{d t} = A i + B (u - e)

式中， $i = {[\begin{matrix} i_{α} & i_{β} \end{matrix}]}^{T}$ ； $u = {[\begin{matrix} u_{α} & u_{β} \end{matrix}]}^{T}$ ； $e = {[\begin{matrix} e_{α} & e_{β} \end{matrix}]}^{T}$ ； $A = a I$ ； $B = b I$ ； $I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ ； $a = - \frac{R_{s}}{L_{s}}$ ； $b = \frac{1}{L_{s}}$ 。

将式(3)中的反电动势 $e$ 作为扩展状态变量，则永磁同步电机扩展模型可表示为

(4)

\frac{d}{d t} [\begin{matrix} i \\ e \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} i \\ e \end{matrix}] + [\begin{matrix} B \\ 0 \end{matrix}] u

式中， $A_{11} = a I$ ， $A_{12} = - b I$ ， $A_{22} = ω_{e} J$ ， $J = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ 。

2.2 基于扩展模型的传统滑模观测器设计

为了估计电机反电动势，根据式(4)，传统滑模观测器可设计为^[18]

(5)

\frac{d}{d t} [\begin{matrix} \hat{i} \\ \hat{e} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & {\hat{A}}_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{i} \\ \hat{e} \end{matrix}] + [\begin{matrix} B \\ 0 \end{matrix}] u - [\begin{matrix} v_{i} \\ v_{e} \end{matrix}]

式中， ${\hat{A}}_{22} = {\hat{ω}}_{e} J$ ； ${[\begin{matrix} v_{i} & v_{e} \end{matrix}]}^{T} = K sgn (s)$ ； $s = [\begin{matrix} {\hat{i}}_{α} - i_{α} & {\hat{i}}_{β} - i_{β} \end{matrix}]$ ； $K = {[\begin{matrix} n & 0 & - m & 0 \\ 0 & n & 0 & - m \end{matrix}]}^{T}$ ；v_i和v_e为滑模控制律；增益矩阵K中的 $n$ 和 $m$ 为滑模增益。

根据式(5)可得

(6)

\hat{e} = \int ({\hat{A}}_{22} \hat{e} - v_{e}) d t

因此，对不连续的控制律 $v_{e}$ 取积分即可得到估计的反电动势。由于反电动势中包含着转速和转子位置信息，不连续的控制律导致估计的反电动势存在抖振，继而影响转速和转子位置的估计精度。

由式(5)提出的传统滑模观测器无法抑制符号函数高频切换产生的抖振，所以会影响反电动势的估计精度，且系统状态无法实现有限时间收敛，会影响系统的收敛速度，进而影响系统的动态性能。

3 新型高阶对数滑模观测器设计

为了实现扩展模型滑模观测器的抖振抑制和有限时间收敛，本节提出了一种新型的高阶对数滑模观测器，以实现对电动势的平滑估计。

首先，以电流误差为状态变量，设计对数滑模面为^[19]

(7)

s = \dot{\tilde{i}} + β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i})

式中， $β > 0$ ， $k > 0$ ，且 $\ln (\cdot)$ 为自然对数函数。

设 $t_{r}$ 为系统从初始状态到达对数滑模面的时间， $t_{f}$ 为系统从初始状态收敛于原点邻域范围的时间，则系统状态在对数滑模面上的滑动时间为

(8)

t = \frac{1}{β k} \{l i [k |\tilde{i} (t_{r})| + 1] - l i [k |\tilde{i} (t_{f})| + 1]\}

式中， $l i (\cdot)$ 为对数积分函数^[20]。

证明：当且仅当 $s = 0$ 时，式(7)表示为

(9)

\dot{\tilde{i}} = - β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i})

选取Lyapunov函数为

(10)

\dot{V} = \tilde{i} \cdot \dot{\tilde{i}} = - |\tilde{i}| β \ln (k |\tilde{i}| + 1) \leq 0

由此表明式(7)提出的对数滑模面是全局渐近稳定的。则式(9)可以表示为

(11)

- \frac{d \tilde{i}}{β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i})} = d t

式(11)积分可得

(12)

\begin{matrix} t = \int_{t_{r}}^{t_{f}} d t = \int_{|\tilde{i} (t_{f})|}^{|\tilde{i} (t_{r})|} \frac{d \tilde{i}}{β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i})} = \\ \frac{1}{β k} \{l i [k |\tilde{i} (t_{r})| + 1] - l i [k |\tilde{i} (t_{f})|] + 1\} \end{matrix}

综上，所提出的对数滑模面能实现有限时间收敛，通过增大参数 $k$ 可以显著缩短系统状态到达原点邻域的时间，有效降低了执行器的饱和风险。

高阶滑模控制律表示为

(13)

\{\begin{array}{l} v_{i} = β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i}) + v_{n} \\ \frac{d v_{n}}{d t} + ω_{f} v_{n} = k_{1} sgn (s) \\ v_{e} = k_{2} sgn (s) \end{array}

式中， $v_{n} = {[\begin{matrix} v_{n α} & v_{n β} \end{matrix}]}^{T}$ ； $k_{1} = [\begin{matrix} k_{1} & 0 \\ 0 & k_{1} \end{matrix}]$ ； $k_{2} = [\begin{matrix} k_{2} & 0 \\ 0 & k_{2} \end{matrix}]$ ； $v_{i}$ 和 $v_{e}$ 为设计的控制律； $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $ω_{f}$ 为控制律的设计参数。与式(5)中的传统控制律相比，将不连续的 $sgn (\cdot)$ 转化为高阶控制律的导数，可有效抑制滑模抖振。

根据式(7)和式(13)，所设计的高阶对数滑模观测器(High-order logarithmic sliding mode observer，HOLnSMO)可表示为

(14)

\begin{matrix} \frac{d}{d t} [\begin{matrix} \hat{i} \\ \hat{e} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & {\hat{A}}_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{i} \\ \hat{e} \end{matrix}] + [\begin{matrix} B \\ 0 \end{matrix}] u + \\ [\begin{matrix} - β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i}) - v_{n} \\ k_{2} sgn (s) \end{matrix}] \end{matrix}

对所提出的高阶对数滑模观测器进行稳定性分析^[11]，选取Lyapunov函数为

(15)

V = \frac{1}{2} s^{T} s

式(15)对时间t求导可得

(16)

\dot{V} = s \dot{s}

为了满足Lyapunov函数的稳定性条件，Lyapunov函数的导数必须满足 $d V / d t < 0$ 。由式(4)和式(14)做差可得误差矩阵方程为^[11]

(17)

\begin{matrix} \frac{d}{d t} [\begin{matrix} \tilde{i} \\ \tilde{e} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} \tilde{i} \\ \tilde{e} \end{matrix}] + \\ [\begin{matrix} - β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i}) - v_{n} \\ k_{2} sgn (s) \end{matrix}] \end{matrix}

将式(17)代入滑模面式(7)，可得

(18)

\begin{matrix} s = A_{11} \tilde{i} + A_{12} \tilde{e} + β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i}) - \\ [β \ln (k |\tilde{i}| + 1) sgn (\tilde{i}) + v_{n}] = \\ A_{11} \tilde{i} + A_{12} \tilde{e} - v_{n} \end{matrix}

令式(18)等式两边对t求导，并将式(13)代入可得

(19)

\begin{matrix} \frac{d s}{d t} = - k_{1} sgn (s) + A_{11} \frac{d \tilde{i}}{d t} + ω_{f} v_{n} + \\ A_{12} [{\hat{ω}}_{e} J \cdot \tilde{e} + k_{2} sgn (s)] \end{matrix}

将式(19)代入式(16)可得

(20)

\begin{matrix} \frac{d V}{d t} = - k_{1} |s| + (A_{11} \frac{d \tilde{i}}{d t} + ω_{f} v_{n}) s + \\ A_{12} (s {\hat{ω}}_{e} J \cdot \tilde{e} + k_{2} |s|) \end{matrix}

考虑电流误差的微分存在上界，并记为 $C$ ，即 $0 \leq \max (\frac{d \tilde{i}}{d t}) \leq C$ ，则式(20)可表示为

(21)

\begin{matrix} \frac{d V}{d t} < - k_{1} |s| + (|A_{11} C| + ω_{f} v_{n}) s + \\ A_{12} (s {\hat{ω}}_{e} J \cdot \tilde{e} + k_{2} |s|) \end{matrix}

由于 $A_{12} < 0$ ，为使式(21)成立，式(14)中的增益参数 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 应满足以下条件

(22)

\{\begin{array}{l} k_{1} > \max (|A_{11} C| + |ω_{f} v_{n}|) \\ k_{2} > \max (|{\hat{ω}}_{e} \tilde{e}|) \end{array}

因此，满足 $d V / d t < 0$ ，则高阶对数滑模观测器是有限时间稳定的。所设计的HOLnSMO框图如图1所示。

图1

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图1 高阶对数滑模观测器系统框图

4 基于STESO的改进PLL设计

4.1 传统锁相环

在观测到反电动势信息后，通常采用PLL^[21]提取转速和转子位置信息。根据式(2)，可得到常规PLL的位置误差为

(23)

\begin{matrix} ε = - e_{α} \cos {\hat{θ}}_{e} - e_{β} \sin {\hat{θ}}_{e} = \\ E_{s} \sin θ_{e} \cos {\hat{θ}}_{e} - E_{s} \cos θ_{e} \sin {\hat{θ}}_{e} = E_{s} \sin (θ_{e} - {\hat{θ}}_{e}) \end{matrix}

式中， $E_{s} = ψ_{f} ω_{e}$ ； $ε$ 为电机位置误差。对式(23)进行归一化处理，当位置误差较小时有

(24)

ε \approx (θ_{e} - {\hat{θ}}_{e}) = {\tilde{θ}}_{e}

位置误差通过PLL中的PI调节器提取转速信息，进而得到转子位置信息。

4.2 Super-twisting扩展状态观测器

扩展状态观测器因其抗扰性强、不依赖准确的数学模型等优点，广泛应用于永磁同步电机无位置传感器控制中。文献[22]采用ESO替代了传统锁相环中的PI调节器，实现了转速和转子位置的精确估计。为了进一步提高转速和转子位置的跟踪精度，提升系统的鲁棒性，提出了一种三阶Super-twisting扩展状态观测器，以消除ESO中线性增益产生的抖振影响，实现更高性能的控制。

具有参数不确定性的PMSM动力学模型可表示为

(25)

{\dot{ω}}_{e} = (a + Δ a) i_{q} - (b + Δ b) ω_{e} - (c + Δ c) T_{L}

式中， $a = p_{n} ψ_{f} / J$ ； $b = J / B$ ； $c = 1 / J$ 。 $p_{n}$ 为电机极对数； $ψ_{f}$ 为永磁体磁链； $J$ 为转动惯量； $B$ 为阻尼系数； $T_{L}$ 为电机负载转矩； $Δ a$ 、 $Δ b$ 、 $Δ c$ 为参数不确定项，系统动力学的总扰动定义为

(26)

z = a (i_{q} - i_{q}^{*}) + Δ a i_{q} - (b + Δ b) ω_{e} - (c + Δ c) T_{L}

式中， $i_{q}^{*}$ 为 $q$ 轴的参考电流。

将式(26)代入式(25)可以得到

(27)

{\dot{ω}}_{e} = a i_{q}^{*} + z

式中， $z$ 包含扰动集总项，且假设 $z$ 在系统动力学中是有界的，由于在电机运行过程中， $z$ 的变化缓慢，因此 $\dot{z} = 0$ ，根据式(27)建立系统状态方程

(28)

\{\begin{array}{l} {\dot{θ}}_{e} = ω_{e} \\ {\dot{ω}}_{e} = a i_{q}^{*} + z \\ \dot{z} = 0 \end{array}

根据式(28)建立三阶STESO

(29)

\{\begin{array}{l} {\tilde{θ}}_{e} = θ_{e} - {\hat{θ}}_{e} \\ {\dot{\hat{θ}}}_{e} = {\hat{ω}}_{e} + p_{1} {|{\tilde{θ}}_{e}|}^{0.5} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) + p_{2} \int sgn ({\tilde{θ}}_{e}) d t \\ {\dot{\hat{ω}}}_{e} = a i_{q}^{*} + \hat{z} + p_{3} {|{\tilde{θ}}_{e}|}^{0.5} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) \\ \dot{\hat{z}} = p_{4} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) \end{array}

式中， ${\tilde{θ}}_{e}$ 为位置误差； $\hat{z}$ 为未知扰动扩展状态的估计值； $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $p_{3}$ 、 $p_{4}$ 为扩展状态观测器增益。根据式(28)、(29)，误差方程表示为

(30)

\{\begin{array}{l} {\dot{\tilde{θ}}}_{e} = {\tilde{ω}}_{e} - p_{1} {|{\tilde{θ}}_{e}|}^{0.5} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) - p_{2} \int sgn ({\tilde{θ}}_{e}) d t \\ {\dot{\tilde{ω}}}_{e} = z - p_{3} {|{\tilde{θ}}_{e}|}^{0.5} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) - \hat{z} \\ \dot{\tilde{z}} = - p_{4} sgn ({\tilde{θ}}_{e}) \end{array}

式中， ${\tilde{ω}}_{e}$ 为电角速度误差； $\tilde{z}$ 为未知扰动误差。

4.3 STESO的参数设计和整定

STESO的参数设计决定了改进PLL的估计性能。在STESO中，响应时间和鲁棒性是由 $p_{3}$ 决定的， $p_{3}$ 的值越大，响应速度越快，但是，随着 $p_{3}$ 的增加，转速的超调量和抖振也会随之增加。此外，通过调节 $p_{4}$ 的值可以保证较高的稳态精度，从而使系统具有较好的动态性能。在保证较好的转速估计性能后，可以再通过调整 $p_{1}$ 保证转子位置的跟踪性能， $p_{1}$ 取值不宜过大，否则会影响收敛速度，此外引入 $p_{2}$ 能减小稳态误差，但 $p_{2}$ 的取值应当远小于 $p_{1}$ ，否则会产生静态误差，影响转子位置的观测精度。可根据文献[23]中提出的规则来调整增益。此外，通过试验，在此基础上对试验参数进行微调，让该方法达到最佳的观测性能。所设计的三阶STESO系统框图如图2所示。

图2

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图2 基于三阶STESO的改进PLL系统框图

采用所提出的高阶对数滑模观测器代替传统滑模观测器，把三阶Super-twisting扩展状态观测器引入锁相环，实现了永磁同步电机无位置传感器高性能控制，即提高了转速和转子位置的观测精度，提升了系统的动态性能和鲁棒性。根据上述原理，可设计基于改进滑模观测器和PLL的永磁同步电机无位置传感器控制，总体系统框图如图3所示。

图3

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图3 永磁同步电机无位置传感器控制系统框图

5 试验分析

为了验证所提新型无位置传感器控制方法的有效性，本节进行试验验证，试验平台如图4所示。该试验平台的硬件部分主要包括130 MB 150A表贴式永磁同步电动机耦合负载电机、逆变器、电机控制专用模块、转矩传感器等。软件部分由Matlab/Simulink和RT-SIM组成。PMSM的参数如表1所示。

图4

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图4 永磁同步电机试验平台

表1 PMSM标称参数值

参数	数值
额定转速/(r/min)	1 000
额定功率/kW	1.5
转动惯量/(kg·m²)	0.002 7
永磁体磁链/Wb	0.32
线电阻/Ω	1.84
线电感/mH 额定电流/A	6.65 7.3
磁极对数	4

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首先，为了验证所设计高阶对数滑模观测器的性能性，本节设置了三组观测器的对比试验。第一组为传统滑模观测器(Sliding mode observer，SMO)+锁相环(PLL)；第二组为非奇异终端滑模观测器(Nonsingular terminal sliding mode observers，NTSMO)^[24]+锁相环(PLL)；第三组为高阶对数滑模观测器(HOLnSMO)+锁相环(PLL)。其中第一组和第二组为一阶滑模算法，三组观测器参数如表2所示。

表2 试验参数

控制方法	观测器参数
SMO	$k_{1} = 240$ ； $k_{1} = 240$
NTSMO	$k = 2$ ； $k = 2$ ； $k = 2$ ； $k = 2$ ； $k = 2$ ； $k = 2$ ； $k = 2$
HOLnSMO	$β = 400$ ； $β = 400$ ； $β = 400$ ； $β = 400$ ； $β = 400$
PLL	$k_{p} = 4$ ； $k_{p} = 4$
2^nd order ESO	$b_{1} = 2.2$ ； $b_{1} = 2.2$
ESO	$b_{1} = 2.2$ ； $b_{1} = 2.2$ ； $b_{1} = 2.2$
STESO	$P_{1} = 40$ ； $P_{1} = 40$ ； $P_{1} = 40$ ； $P_{1} = 40$

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图5、图6分别显示了转速为200 r/min、1 000 r/min时，采用SMO、NTSMO、HOLnSMO得到的 $α$ - $β$ 轴反电动势波形。由图5、图6可知，传统SMO估计的反电动势不够平滑，存在明显的抖振现象。而NTSMO估计的反电动势虽然平滑程度上有所改善，但仍存在抖振。试验结果表明，所提出的HOLnSMO能抑制抖振，使反电动势曲线更加平滑。

图5

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图5 转速为200 r/min时反电动势曲线

图6

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图6 转速为1 000 r/min时反电动势曲线

参考转速给定值为200 r/min时，电机实际转速和估计转速曲线如图7所示，采用传统SMO+PLL、NTSMO+PLL、HOLnSMO+PLL三种方法估计转速波动分别为9.5 r/min、7.2 r/min、6.5 r/min；电机实际转速波动分别为9.2 r/min、7.4 r/min、5.5 r/min。参考转速给定为1 000 r/min时，试验结果如图8所示，采用传统SMO+PLL、NTSMO+PLL、HOLnSMO+PLL的方法估计转速波动分别为8.6 r/min、7.3 r/min、4.3 r/min；电机实际转速波动分别为8.5 r/min、6.8 r/min、4.9 r/min。试验结果表明，采用所设计的HOLnSMO能有效抑制抖振，提高转速估计精度。

图7

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图7 给定转速为200 r/min时的转速曲线

图8

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图8 给定转速为1 000 r/min时的转速曲线

为了验证提升滑模观测器的阶数对系统动态性能的影响，分别采用基于一阶滑模算法的SMO和NTSMO，与HOLnSMO做电机升速对照试验。给定转速由200 r/min突变至600 r/min时的转速响应曲线如图9所示。所提出的HOLnSMO在转速突变时具有较短的响应时间和较小的超调量，且转速稳定后抖振更小。试验结果表明，该方法在应对转速突变时，响应快，超调小，调节时间短，稳态精度高，因此具有较好的动态性能。

图9

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图9 转速突变时的转速响应曲线

其次，为验证所提出的三阶Super-twisting扩展状态观测器方法的优越性，本节将设置三组对照试验加以分析，第一组为高阶对数滑模观测器(HOLnSMO)+锁相环(PLL)，第二组为高阶对数滑模观测器(HOLnSMO)+扩展状态观测器(ESO)，第三组为高阶对数滑模观测器(HOLnSMO)+三阶Super-twisting扩展状态观测器(STESO)。三组对比试验中观测器的参数如表2所示。对于本文所提出的高阶对数滑模观测器，根据式(12)可以得到对数滑模上的参数 $β$ 和 $k$ 决定了滑模面的收敛时间，因此 $β$ 、 $k$ 的选取要足够大，以保证系统的收敛速度，但参数 $k$ 值过大会增加系统的抖振。 $ω_{f}$ 的取值决定了控制律的带宽，通过减小 $ω_{f}$ 可以减小控制律的抖振，但过小的 $ω_{f}$ 会降低控制律的带宽，从而导致动态性能下降。

图10、图11分别为给定转速为200 r/min、1 000 r/min时电机实际转速响应曲线以及观测器估计转速响应曲线。从图10中可以观察到，当电机给定转速为200 r/min时，HOLnSMO+PLL、HOLnSMO+ESO、HOLnSMO+STESO的电机实际转速波动约为5.5 r/min、4.8 r/min、3.6 r/min；估计转速波动约为6.5 r/min、3.6 r/min、2.1 r/min。如图11所示，当电机给定转速为1 000 r/min时，以上三种方法得到的电机实际转速波动分别为4.9 r/min、3.6 r/min、2.4 r/min；估计转速波动分别为4.3 r/min、2.1 r/min、0.8 r/min。试验结果表明，与其他2种方法相比，所提出的HOLnSMO+STESO策略在不同的给定转速条件下都有更高的转速估计精度。

图10

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图10 给定转速为200 r/min时转速响应曲线

图11

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图11 给定转速为1 000 r/min时转速响应曲线

为了进一步验证所提HOLnSMO+STESO策略在负载突变时的鲁棒性，设置了两组电机在不同转速下的鲁棒性试验。给定电机初始负载转矩为0.5 N·m，当电机给定转速为200 r/min时，电机转速稳定后突加1 N·m的负载扰动，并在5 s后去除该扰动，转速波动曲线以及转子位置误差曲线如图12a所示，可得其转速的升降分别为40 r/min和43 r/min，恢复时间为0.6 s，转子位置误差波动约为0.15 rad。当给定转速为1 000 r/min时，在相同的时刻突加1 N·m的负载扰动，也在5 s后去除该扰动，转速波动曲线和转子位置误差曲线如图12b所示。可以观察到其转速升降分别为55 r/min和60 r/min，其恢复时间约为0.9 s，转子位置误差波动约为0.06 rad。此外，图12c、12d分别给出了给定转速为200 r/min和1 000 r/min时的d-q轴电流响应曲线。试验结果表明，突加负载扰动时，所设计的观测器仍能准确地估计转速与转子位置信息，具有良好的抗负载扰动能力。

图12

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图12 加减载时转速、转子位置误差和电流曲线

为了验证该方法在参数失配情况下的鲁棒性，给定电机参考速度为600 r/min，改变电机参数，假设 $x = x_{0} (1 + Δ x)$ ， $x = (R_{s}, L_{s})$ ，其中 $x_{0}$ 和 $Δ x$ 分别表示参数的标称值和变化量，电机实际转速和转子位置误差试验结果如图13a所示。此外，图13b为参数失配时的d-q轴电流响应曲线。从图13可以观察到，在参数失配时，HOLnSMO+STESO策略得到的转速波动较小，且仍具有较高的转子位置跟踪精度，试验结果表明该方法在应对参数失配时具有较强的鲁棒性。

图13

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图13 参数失配时转速、转子位置误差和电流曲线

为了验证提升ESO阶数对系统动态性能的影响，以及所提策略的优越性，引入了一种二阶扩展状态观测器(Second-order extended state observer，2^nd order ESO)^[25]，与三阶ESO、STESO做了电机升速的对照试验。电机在0.5 N·m负载转矩下，给定转速从200 r/min上升至600 r/min时，实际转速变化曲线和转子位置误差曲线如图14a所示，d-q轴电流的变化曲线如图14b所示。当转速突变时，2^nd order ESO的转速超调量较大，转速到达稳态的时间较长，且稳态后的转速和转子位置误差的抖振较大。而本文所提出的STESO能在保证快速性的同时，拥有较小的转速超调和抖振。试验结果表明，所提方法在应对转速突变时，具有转速响应快、超调量小、稳态精度高等优势，因此表现出了较好的动态性能。

图14

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图14 转速突变时转速、转子位置误差和电流曲线

6 结论

本文提出了一种基于高阶对数滑模观测器的永磁同步电机无位置传感器控制方法，并引入了一种新的三阶Super-twisting扩展状态观测器以提高转速和转子位置的估计精度，通过试验对比分析，得到以下结论。

(1) 根据永磁同步电机反电动势扩展模型，所设计的高阶对数滑模观测器，由于其引入了非奇异对数滑模面，能实现有限时间收敛，且能有效抑制滑模抖振，得到平滑的反电动势信息。

(2) 针对普通锁相环精度差的弊端，设计了三阶Super-twisting扩展状态观测器对转速和转子位置进行精准估计，提高了观测精度。

(3) 试验表明，所提出的高阶对数滑模观测器和三阶Super-twisting扩展状态观测器算法，在面对参数失配、突加负载和转速突变等工况时仍具有较好的动态性能和鲁棒性。

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... 近年来，模型参考自适应法^[6]、卡尔曼滤波法^[7]和滑模观测器^[8]等方法常用于永磁同步电机的无位置传感器控制，其中滑模观测器法因具有收敛速度快、鲁棒性强等优点被广泛应用，但由于其含有不连续的控制律，因此传统滑模观测器存在固有抖振，进而影响转速估计精度.文献[9]引入了饱和函数代替切换函数，设计了一种改进滑模观测器，并引入自适应律以提高响应速度，削弱了不连续控制律造成的抖振.为了充分抑制一阶滑模由于开关函数的高频切换产生的抖振现象，文献[10]引入高阶滑模算法，根据PMSM反电动势扩展模型，提出了一种改进Super-twisting滑模观测器，并引入二阶广义积分器估计反电动势，有效抑制了抖振，提高了估计精度.为解决线性滑模面不能实现有限时间收敛的问题，文献[11]将非奇异终端滑模面引入高阶滑模算法中，提出了一种高阶滑模观测器，实现了有限时间收敛，并提高了反电动势的估计精度. ...

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... 对所提出的高阶对数滑模观测器进行稳定性分析^[11]，选取Lyapunov函数为 ...

... 为了满足Lyapunov函数的稳定性条件，Lyapunov函数的导数必须满足

d V / d t < 0

.由式(4)和式(14)做差可得误差矩阵方程为^[11] ...

基于锁相环的永磁同步电机无位置传感器控制

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... 另一方面，在永磁同步电机无位置传感器控制中，通常采用锁相环(Phase locked loop，PLL)估计转速和转子位置^[12]，但传统PLL估计精度较低，可通过引入低通滤波器(Low pass filter，LPF)加以改善，但会导致相位延迟和幅值衰减.为此文献[13]设计了一种自适应正交锁相环(Adaptive quadrature-phase locked loop，AQ-PLL)，可实时调整PLL的带宽，从而改善了转子位置的跟踪性能且避免了相位延迟.扩展状态观测器(Extended state observer，ESO)^[14]具有收敛速度快、不依赖准确的数学模型等优点，将其引入PLL中可提高转速和转子位置的动态跟踪性能，文献[15]根据三阶扩展模型，设计了一种高阶扩展状态观测器，其在参数整定和理论分析方面较为简便，且具有较高的估计精度，但线性扩展状态观测器(Linear extended state observer，LESO)含有线性增益项，不可避免地产生系统抖振.文献[16]基于三阶扩展模型，通过FAL函数设计了一种三阶非线性观测器，减小了系统抖振. ...

Permanent magnet synchronous motor sensorless control based on PLL

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... 对于表贴式永磁同步电机，基于α - β 坐标系的PMSM数学模型表示为^[17] ...

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... 为了估计电机反电动势，根据式(4)，传统滑模观测器可设计为^[18] ...

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... 为了估计电机反电动势，根据式(4)，传统滑模观测器可设计为^[18] ...

Practical tracking of permanent magnet linear motor via logarithmic sliding mode control

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... 首先，以电流误差为状态变量，设计对数滑模面为^[19] ...

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... 式中，

l i (\cdot)

为对数积分函数^[20]. ...

Adaptive sliding mode observer-based sensorless control for SPMSM employing a dual-PLL

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... 在观测到反电动势信息后，通常采用PLL^[21]提取转速和转子位置信息.根据式(2)，可得到常规PLL的位置误差为 ...

A third-order super-twisting extended state observer for dynamic performance enhancement of sensorless IPMSM drives

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... 扩展状态观测器因其抗扰性强、不依赖准确的数学模型等优点，广泛应用于永磁同步电机无位置传感器控制中.文献[22]采用ESO替代了传统锁相环中的PI调节器，实现了转速和转子位置的精确估计.为了进一步提高转速和转子位置的跟踪精度，提升系统的鲁棒性，提出了一种三阶Super-twisting扩展状态观测器，以消除ESO中线性增益产生的抖振影响，实现更高性能的控制. ...

Smooth Lyapunov function and gain design for a second order differentiator

2015

... STESO的参数设计决定了改进PLL的估计性能.在STESO中，响应时间和鲁棒性是由

p_{3}

决定的，

p_{3}

的值越大，响应速度越快，但是，随着

p_{3}

的增加，转速的超调量和抖振也会随之增加.此外，通过调节

p_{4}

的值可以保证较高的稳态精度，从而使系统具有较好的动态性能.在保证较好的转速估计性能后，可以再通过调整

p_{1}

保证转子位置的跟踪性能，

p_{1}

取值不宜过大，否则会影响收敛速度，此外引入

p_{2}

能减小稳态误差，但

p_{2}

的取值应当远小于

p_{1}

，否则会产生静态误差，影响转子位置的观测精度.可根据文献[23]中提出的规则来调整增益.此外，通过试验，在此基础上对试验参数进行微调，让该方法达到最佳的观测性能.所设计的三阶STESO系统框图如图2所示. ...

A novel nonsingular terminal sliding mode observer-based sensorless control for electrical drive system

2022

... 首先，为了验证所设计高阶对数滑模观测器的性能性，本节设置了三组观测器的对比试验.第一组为传统滑模观测器(Sliding mode observer，SMO)+锁相环(PLL)；第二组为非奇异终端滑模观测器(Nonsingular terminal sliding mode observers，NTSMO)^[24]+锁相环(PLL)；第三组为高阶对数滑模观测器(HOLnSMO)+锁相环(PLL).其中第一组和第二组为一阶滑模算法，三组观测器参数如表2所示. ...

Second-order ESO-based current sensor fault-tolerant strategy for sensorless control of PMSM with B-phase current

2022

... 为了验证提升ESO阶数对系统动态性能的影响，以及所提策略的优越性，引入了一种二阶扩展状态观测器(Second-order extended state observer，2^nd order ESO)^[25]，与三阶ESO、STESO做了电机升速的对照试验.电机在0.5 N·m负载转矩下，给定转速从200 r/min上升至600 r/min时，实际转速变化曲线和转子位置误差曲线如图14a所示，d-q轴电流的变化曲线如图14b所示.当转速突变时，2^nd order ESO的转速超调量较大，转速到达稳态的时间较长，且稳态后的转速和转子位置误差的抖振较大.而本文所提出的STESO能在保证快速性的同时，拥有较小的转速超调和抖振.试验结果表明，所提方法在应对转速突变时，具有转速响应快、超调量小、稳态精度高等优势，因此表现出了较好的动态性能. ...

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