基于改进自适应超螺旋观测器的永磁同步电机无位置控制*

图1 锁相环结构框图

3.2 参数误差造成的误差分析

考虑电阻以及电感的误差之后，则当电流估计误差为零时，反电势的估计值根据等效控制原理可以得到

(6)

\{\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} = e_{α} - Δ R_{s} i_{α} - Δ L_{s} \frac{d i_{α}}{d t} \\ {\hat{e}}_{β} = e_{β} - Δ R_{s} i_{β} - Δ L_{s} \frac{d i_{β}}{d t} \end{matrix}

式中， $Δ R_{s} = R_{s 0} - R_{s}$ ， $Δ L_{s} = L_{s 0} - L_{s}$ 。下标0为该物理量的标称值。若假设电机平稳的以电角速度ω_e运行，则令x_s=x_α+jx_β，可以得到如图2所示的相位图。

图2

图2 反电势误差相位图

从图2可以看到，参数误差导致的反电势估计误差会引起位置估计的偏差，除此之外，注意到，并且$ \Delta R_{s} \gg \Delta L_{s}$，那么低速时(小于300 r/min)，考虑电感电阻误差均为50%，定子电流为10 A时两者造成的误差(电机参数如表1所示)

(7)

|\frac{Δ R_{s} i_{s}}{ω_{e} φ_{f}}| =9.55 \geq |\frac{Δ L_{s} i_{s}}{φ_{f}}| = 1.08

表1 PMSM及相关参数

参数	数值	参数	数值
定子电阻R_s/Ω	0.9	控制周期T_s/μs	100
定子电感L_s/mH	0.65	死区时间T_d/μs	2
永磁体磁链φ_f/Wb	0.003	母线控制电压U_dc/V	50
电机极对数	5	开关频率f_s/kHz	10

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可以看出此时电阻误差造成的影响更大，而只有当电机运行速度较高时， $Δ L_{s} d i_{s} / d t$ 的影响才会更大。其中对于电阻误差造成的相位误差Δδ可以通过矢量的加法运算由式(8)得出

(8)

\{\begin{cases} {\hat{e}}_{s} (\cos (Δ δ) + j \sin (Δ δ)) = e_{s} - Δ R_{s} i_{s} (\cos (Δ θ) - j \sin (Δ θ)) \\ Δ δ = \arctan \frac{Δ R_{s} |i_{s}| \sin Δ θ}{|e_{s}| + Δ R_{s} |i_{s}| \cos Δ θ} \end{cases}

此外，图2中e_s与q轴重合，所以，当电机控制策略采用i_d=0时，可以看出定子电阻的误差只会使估计反电势的相位不变或增加 $π$ ，进而本文试验部分验证参数误差的影响时，将i_d设置为非零值。类似地， ${\hat{e}}_{s}$ 在幅值上也会产生误差，进而导致式(5)中计算得到的 ${\hat{ω}}_{e}$ 产生误差。为了改善电机参数误差对于位置估计以及转速估计误差的影响，需要采取参数辨识或者是自适应的方法进行抑制。

3.3 改进的自适应超螺旋观测器设计

虽然超螺旋观测器相较于线性扩展状态观测器(Extended state observer，ESO)具有更强的鲁棒性，但是在误差较大的情况下，前者对于误差的增益会远小于后者，因此此时的收敛速度反而不如ESO。为了改善观测器在跟踪初期的收敛速度，本文在观测器中加入高幂项的同时保持其稳定性，并通过自适应算法对模型参数进行估计，提高位置观测精度。考虑矢量的分解理论，单个矢量最多可以分解为确定的两个方向的矢量，所以在未注入其他频率信号的前提下，本文除了反电势外，选择在低速时对估计误差影响更大的R_s进行辨识，其结构框图如图3所示，并可以表示为

(9)

\{\begin{matrix} \frac{d {\hat{i}}_{α}}{d t} = - \frac{{\hat{R}}_{s}}{L_{s}} i_{α} + \frac{1}{L_{s}} u_{α} - \frac{1}{L_{s}} {\hat{e}}_{α} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{α}) \\ \frac{d {\hat{i}}_{β}}{d t} = - \frac{{\hat{R}}_{s}}{L_{s}} i_{β} + \frac{1}{L_{s}} u_{α} - \frac{1}{L_{s}} {\hat{e}}_{β} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{β}) \end{matrix}

(10)

\{\begin{cases} f_{1} (x) = λ_{1} {|x|}^{0.5} s i g n (x) + λ_{2} {|x|}^{1.5} s i g n (x) \\ f_{2} (x) = \frac{λ_{1}^{2} s i g n (x)}{2} + 2 λ_{1} λ_{2} x + 1.5 λ_{2}^{2} x^{2} s i g n (x) \\ \{\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} = L_{s} k_{2} \int f_{2} ({\tilde{i}}_{α}) d t \\ {\hat{e}}_{β} = L_{s} k_{2} \int f_{2} ({\tilde{i}}_{β}) d t \end{matrix} \end{cases}

式中，λ₁、λ₂、k₁、k₂为大于零的系数， ${\hat{R}}_{s}$ 为定子电阻的估计值。

图3

图3 ASTO结构框图

图4为改进后的控制率与原始控制率关于e的关系图，其中λ₁=λ₂=1。可以看到，改进后的控制率在误差较小时与改进前基本重合，而当误差增大后，改进后的控制率则是远远大于原方案的。

图4

图4 e-f₁(e)关系图

令Δθ_e为反电势超前定子电流的角度，对于定子电阻R_s的估计，需要做如下假设。

① 电阻误差造成的影响不足以使电机反转，即e_s-ΔR_si_scos(Δθ_e)>0。

② 定子电流和反电势的相位差小于π/4，即-π/4≤Δθ_e≤π/4。

对于假设②，电机在低速时通常运行于最大转矩电流比(Maximum torque per amp，MTPA)曲线上，根据式(11)^[23]容易得到 $|ϑ| \leq π / 4$ ，特别地，对于本文所用的表贴式电机或一些凸极率较低的电机 $ϑ \approx 0$ ，故在低速时不难满足假设②。

(11)

ϑ = \sin^{- 1} [\frac{- φ_{f} + \sqrt{φ_{f}^{2} + 8 {(L_{q} - L_{d})}^{2} i_{s}^{2}}}{4 (L_{q} - L_{d}) i_{s}}]

式中， $ϑ$ 为电流超前q轴角度，L_d、L_q分别为d、q轴电感。

考虑只有电阻误差的情况，可以得到

(12)

\begin{matrix} |{\hat{e}}_{s}| = |e_{s} - Δ R_{s} i_{s}| = \\ \sqrt{|e_{s}^{2}| + Δ R_{s}^{2} |i_{s}^{2}| - 2 Δ R_{s} \cos (Δ θ_{e}) |e_{s}| |i_{s}|} \end{matrix}

当ΔR_s<0时，可以对式(8)进行放缩

(13)

|{\hat{e}}_{s}| \geq \sqrt{|e_{s}^{2}| + Δ R_{s}^{2} |i_{s}^{2}|} = |e_{s}|

而当ΔR_s≥0时，可以得到

(14)

\begin{matrix} |{\hat{e}}_{s}| \leq \sqrt{|e_{s}^{2}| + \frac{|e_{s}^{2}|}{\cos^{2} (Δ θ_{e})} - 2 |e_{s}^{2}|} = \\ |e_{s}| \sqrt{\frac{1 - \cos^{2} (Δ θ_{e})}{\cos^{2} (Δ θ_{e})}} \leq |e_{s}| \end{matrix}

由上面的分析可知

(15)

Δ R_{s} |i_{s}| = k (t) (|e_{s}| - |{\hat{e}}_{s}|)

式中，k(t)为时变的正系数。 ${\hat{R}}_{s}$ 可以由比例积分型自适应律表示为

(16)

{\hat{R}}_{s} = ζ_{i} \int |e_{s}| - |{\hat{e}}_{s}| d t

式中，ζ_i为积分增益。图5为自适应律估计R_s的结构框图。

图5

图5 自适应律估计R_s的结构框图

对于本文所添加的高幂项，利用定时器测量单次电流环执行时间可得，使用传统超螺旋观测器的运行时间为42 μs，而使用改进自适应超螺旋观测器的运行时间为48 μs，仅比原方案多了6 μs，在载频不高的情况下是可接受的。

3.4 稳定性证明

在电机运行过程中，电阻会随着温度的变化而产生一定的变化，但是其变化率相较于观测器带宽而言是相当低的^[21]，可以将其导数视为0。

考虑关于R_s的李雅普诺夫函数为

(17)

V_{R} = \frac{Δ R_{s}^{2}}{2}

其导数可以表示为

(18)

{\dot{V}}_{R} = Δ R_{s} ({\dot{R}}_{s} - {\dot{\hat{R}}}_{s}) = - Δ R_{s} {\dot{\hat{R}}}_{s}

将式(13)代入式(18)可以得到

(19)

\begin{matrix} {\dot{V}}_{R} = - Δ R_{s} ζ_{i} (|e_{s}| - |{\hat{e}}_{s}|) = - Δ R_{s} ζ_{i} \frac{Δ R_{s} |i_{s}|}{k (t)} = \\ - \frac{|i_{s}|}{k (t)} ζ_{i} Δ R_{s}^{2} \leq 0 \end{matrix}

故所提自适应律可以使定子电阻估计值稳定地收敛于真实值。

考虑关于误差的系统方程，使用式(9)减去式(1)，可以得到

(20)

\{\begin{matrix} \frac{d {\tilde{i}}_{α}}{d t} = - \frac{{\tilde{R}}_{s}}{L_{s}} i_{α} - \frac{1}{L_{s}} {\tilde{e}}_{α} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{α}) \\ \frac{d {\tilde{i}}_{β}}{d t} = - \frac{{\tilde{R}}_{s}}{L_{s}} i_{β} - \frac{1}{L_{s}} {\tilde{e}}_{β} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{β}) \end{matrix}

式中， ${\tilde{e}}_{α} = {\hat{e}}_{α} - e_{α}$ ， ${\tilde{e}}_{β} = {\hat{e}}_{β} - e_{β}$ 。将式(20)进行变换，可以得到

(21)

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} \frac{d {\tilde{i}}_{α}}{d t} = \frac{{\tilde{R}}_{s}}{L_{s}} {\tilde{i}}_{α} - \frac{1}{L_{s}} {\tilde{e}}_{α} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{α}) \\ \frac{d {\tilde{i}}_{β}}{d t} = \frac{{\tilde{R}}_{s}}{L_{s}} {\tilde{i}}_{β} - \frac{1}{L_{s}} {\tilde{e}}_{β} - k_{1} f_{1} ({\tilde{i}}_{β}) \end{matrix} \\ {\dot{\tilde{e}}}_{α} = L_{s} k_{2} f_{2} ({\tilde{i}}_{α}) + ({\tilde{R}}_{s} {\hat{i}}_{α})^{'} - {\dot{e}}_{α} \\ {\dot{\tilde{e}}}_{β} = L_{s} k_{2} f_{2} ({\tilde{i}}_{β}) + ({\tilde{R}}_{s} {\hat{i}}_{β})^{'} - {\dot{e}}_{β} \end{array}

注意到

(22)

\begin{array}{l} χ^{T} = [\begin{matrix} f_{1} ({\tilde{i}}_{α}) & - \frac{{\tilde{e}}_{α}}{L_{s}} \end{matrix}] \\ χ^{'} = {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) (A χ + \tilde{ρ}) \end{array}

\begin{matrix} A = [\begin{matrix} - k_{1} & 1 \\ - k_{2} & 0 \end{matrix}] \\ {\tilde{ρ}}^{T} = [\begin{matrix} \frac{{\tilde{R}}_{s}}{L_{s}} {\tilde{i}}_{α} & - \frac{({\tilde{R}}_{s} i_{α})^{'} - {\dot{e}}_{α}}{{f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) L_{s}} \end{matrix}] \end{matrix}

选择以下李雅普诺夫函数

(23)

L_{α} = χ^{T} P χ

式中，P=[α_ij]_2×2为对称正定矩阵，可以得到L_α是正定的，对其求导可以得到

(24)

\begin{matrix} \frac{d L_{α}}{d t} = {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) (χ^{T} (P A + A^{T} P) χ + 2 {\tilde{ρ}}^{T} P χ) = \\ {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) (- χ^{T} Q χ + 2 {\tilde{ρ}}^{T} P χ) \end{matrix}

式中，Q为对称正定矩阵。不妨设 $|{\tilde{R}}_{s}| \leq δ_{1}, |({\tilde{R}}_{s} i_{α})^{'} - {\dot{e}}_{α}| \leq δ_{2}$ ，可以得到

(25)

\{\begin{cases} |{\tilde{ρ}}_{1}| \leq \frac{δ_{1}}{L_{s}} |{\tilde{i}}_{α}| \leq \frac{δ_{1}}{L_{s}} \frac{|f_{1} ({\tilde{i}}_{α})|}{2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}} \leq \frac{δ_{1}}{L_{s}} \frac{{‖χ‖}_{2}}{2 \sqrt{λ_{1} λ_{2}}} \\ |{\tilde{ρ}}_{2}| \leq \frac{δ_{2}}{|L_{s} {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α})|} \leq \frac{δ_{2}}{L_{s}} \frac{2 |f_{1} ({\tilde{i}}_{α})|}{λ_{1}^{2}} \leq \frac{δ_{2}}{L_{s}} \frac{2 {‖χ‖}_{2}}{λ_{1}^{2}} \end{cases}

式中，||·||₂为向量的二范数。因此，可以得到

(26)

(σ_{1} {(\frac{δ_{1}}{2 L_{s} \sqrt{λ_{1} λ_{2}}})}^{2} + σ_{2} {(\frac{2 δ_{2}}{λ_{1}^{2} L_{s}})}^{2}) {‖χ‖}_{2}^{2} - σ_{1} {\tilde{ρ}}_{1}^{2} - σ_{2} {\tilde{ρ}}_{2}^{2} \geq 0

式中，σ₁和σ₂为正的系数。对式(26)进行放缩可以得到

\begin{matrix} \frac{d L_{α}}{d t} = {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) ({[\begin{matrix} χ \\ \tilde{ρ} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} - Q & P \\ P & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} χ \\ \tilde{ρ} \end{matrix}]) \leq \\ {f^{'}}_{1} ({\tilde{i}}_{α}) ({[\begin{matrix} χ \\ \tilde{ρ} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} - Q + Γ & P \\ P & - σ \end{matrix}] [\begin{matrix} χ \\ \tilde{ρ} \end{matrix}]) \end{matrix}

(27)

\{\begin{cases} Γ = [\begin{matrix} σ_{1} {(\frac{δ_{1}}{2 L_{s} \sqrt{λ_{1} λ_{2}}})}^{2} & 0 \\ 0 & σ_{1} {(\frac{2 δ_{2}}{L_{s} λ_{1}^{2}})}^{2} \end{matrix}] \\ σ = [\begin{matrix} σ_{1} & 0 \\ 0 & σ_{2} \end{matrix}] \end{cases}

若式(27)中的二次型矩阵为负定，可以得到 $\frac{d L_{α}}{d t} \leq 0$ 。这等价于

(28)

- Q + Γ + P σ^{- 1} P \leq 0

故选择合适的系数λ₁、λ₂、k₁、k₂，即可使观测器跟踪上实际电流，进而观测出反电势。

对于β轴的观测器，考虑到 $|({\tilde{R}}_{s} i_{β})^{'} - {\dot{e}}_{β}|$ 的上界与α轴的情况一致，同理，选择同样的参数可以得到V_β $\geq$ 0，且 ${\dot{V}}_{β} \leq 0$ 。观测器的稳定性就得到了证明。

3.5 系统整体控制方案

系统整体控制框图如图6所示。首先通过采集电机电流(i_a，i_b，i_c)并使用Clark变换获取α-β轴系下的电流，接着通过该轴系下的电压指令使用本文所提的ASTO对反电势以及定子电阻进行估计，此外，根据静止轴系下的电压电流使用递推最小二乘法^[24](Recursive least square method，RLSM)对电感值进行测量。接着，通过锁相环得到估计位置和估计转速。通过该估计位置使用Park变换计算得到dq轴系下的电流。此外，对于给定转速(ω^*)与估计转速的误差使用PI控制器获取q轴电流给定(i_q^*)，接着电流环根据给定电流与实际电流采用PI控制器输出dq轴电压指令(u_d，u_q)并转换为α-β轴系下的逆变器电压指令，实现电机控制。

图6

图6 系统整体控制框图

4 仿真及试验验证

4.1 仿真结果及分析

为了验证所提算法的有效性，本文选择传统的SMO算法^[17]、变增益超螺旋观测器(Variable gain STO，VGSTO)^[20]作为对比算法。电流环的控制周期为10 kHz，PI控制器参数为k_p=0.6，k_i=900。转速环的控制周期为2 kHz，PI控制器参数为k_p=0.08，k_i=0.1。传统SMO算法的滑模增益k_sw=1.5，低通滤波器截止频率ω_c为1 000 rad/s；VGSTO算法的参数为σ₁=0.04，σ₂=0.2；ASTO算法的参数为k₁=19.02，k₂=1，λ₁=λ₂=100(σ₁=0.388，σ₂=0.001)，ζ_p=0.1，ζ_i=1。锁相环的参数为k_p=2 000，k_i=1 000。电机及相关参数如表1所示。

为了验证所提算法具有更快的收敛速度，本文选择给定速度为200 r/min，空载运行，且初始角度差为0.4 rad的情况作为试验及仿真条件。

图7为三种算法在200 r/min时的位置估计效果。从图7可以看到，传统SMO算法由于对反电势增加了低通滤波器，所以响应速度最慢，并且仍然有一定的抖振现象，然而在加入了更高幂次项后，本文所提的ASTO收敛速度比VGSTO的速度更快。

图7

图7 三种算法在200 r/min时的位置估计仿真结果

进一步地，为了验证算法在电阻参数不准确的情况下的误差，本文设置电阻初始值为0.4 Ω，并且设置i_d=2 A。图8、图9为其位置估计误差以及电阻估计曲线，可以看出，随着时间的增加，电阻的估计值在4 s后趋于真实值0.9 Ω，而位置估计误差随着电阻的变化也逐渐趋于0，其他两个算法的位置估计误差仍然在0.45 rad左右，但是VGSTO算法的抖振现象明显更小。

图8

图8 存在电阻误差时分别使用三种算法的位置估计误差仿真结果

图9

图9 ASTO算法电阻估计值

为了验证算法在高速时的性能以及其抗干扰能力，本文设置给定转速为800 r/min，电阻误差为40%，并在0.5 s时加上0.5 N·m的负载转矩，图10、图11为三种算法的位置估计误差以及速度曲线仿真波形。可以看到，在高速时电阻误差带来的估计误差有明显的降低，只有0.1 rad左右，而ASTO可以随着时间的增加，对电阻进行估计，进一步减少位置估计误差，在突增负载后，三种算法的估计速度都产生了一个超调，而ASTO的超调最小，仅有15 r/min，相较于SMO的120 r/min和VGSTO的40 r/min，有了显著的较低。

图10

图10 位置估计误差

图11

图11 速度估计值

4.2 试验结果及分析

为了验证改进自适应超螺旋观测器的正确性，基于STM32系统搭建如图12所示的试验平台。该试验平台包括基于STM32F407的驱动器、10 kW电源、永磁同步电机以及计算机。驱动器由六个分立的MOSFET组成，电机电流通过HCS-LTS3进行采样，通过模数转换模块输入STM32F407VET6并进行后续的计算。

图12

图12 永磁同步电机试验平台

图13为三种算法在0.1 N·m的初始负载下，运行到200 r/min时的位置估计误差试验波形。由图13可以发现，与仿真类似，传统SMO算法估计速度最慢，在0.4 s后才基本收敛为0，而VGSTO和ASTO的响应速度都更快，前者在0.08 s收敛到0后，有0.1 rad的超调，最终在0.8 s处才基本收敛为0，而ASTO在0.1 s时就已经收敛于0并基本平稳。传统SMO算法的估计误差抖振现象仍然存在，其均方根(Root mean square，RMS)为0.045，VGSTO与ASTO的跟踪误差波动明显更小，其RMS分别为0.029 9和0.026 6。均方根计算公式为

(29)

R M S (x) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{n}}

图13

图13 三种算法在200 r/min时位置估计试验结果

图14、图15为估计转速误差曲线以及跟踪转速效果。由图14可以看出，SMO算法的估计速度在起始阶段有将近60 r/min的误差，而后两者在该阶段的估计误差只有20 r/min。与位置误差相似，SMO算法估计速度误差的RMS为5.08，是其他两个算法的两到三倍，VGSTO的估计误差RMS为2.78，而使用ASTO时的RMS只有1.88。

图14

图14 三种算法转速估计误差曲线

图15

图15 三种算法转速跟踪曲线

考虑电阻误差的影响，设置d轴电流给定为1 A，给定转速为200 r/min，图16、图17为存在电阻误差时的三种算法位置估计结果以及电阻估计结果。由图16可以看出，使用SMO以及VGSTO算法进行位置估计时由于电阻误差的存在，二者均会产生稳态的估计误差，该误差接近0.4 rad，而ASTO算法会根据反电势的幅值误差对电阻进行估计，从而减少其带来的位置估计误差，图17中可以看出电阻估计值在10 s后基本稳定在0.93 Ω，误差仅在3%，此后位置估计误差也基本维持在0.1 rad以内。

图16

图16 存在电阻误差时三种算法在200 r/min时的位置估计误差

图17

图17 ASTO电阻估计曲线

作为对比，本文在800 r/min时增加了一组仿真验证，其中分别设置电感和电阻的误差为50%，图18为其位置误差波形。由图18可以看到，当转速提高后，电感误差造成的影响会远大于电阻误差造成的影响。

图18

图18 800 r/min时位置误差仿真结果

而在加入了使用递推最小二乘法辨识^[24]电感后的估计位置如图19、图20所示，可以看到随着电感值逐渐逼近真实值后，位置误差逐渐减小，最终电感误差位置在6%左右，而位置误差最终也仍有接近0.2 rad的误差。

图19

图19 800 r/min时加入电感辨识的位置估计误差

图20

图20 电感辨识曲线

进一步地，为了验证算法在高速时同样具有良好的性能，本文设定给定转速为800 r/min，电阻初始值为0.6 Ω，d轴电流给定为1 A，进行了试验。图21、图22为其位置估计误差和转速跟踪曲线。SMO以及VGSTO在稳定后有0.15 rad的位置估计误差，而ASTO仍然可以随着电阻的估计不断减小位置估计误差。SMO的速度响应曲线有接近180 r/min的超调，并且响应时间在0.5 ms左右，而VGSTO与ASTO的超调均在30 r/min左右，响应时间也只有0.2 ms。图23为其电阻估计曲线，可以看到，速度增大后，电阻估计误差也相应增大到了0.6 Ω，但是误差也可以保持在6%以内，这在高速时对于位置估计的影响已经可以忽略不计。

图21

图21 800 r/min下三种算法的位置跟踪误差

图22

图22 800 r/min下三种算法的转速跟踪曲线

图23

图23 电阻估计曲线

5 结论

为了提高永磁同步电机在低速时的位置估计精度，本文提出了一种改进的自适应超螺旋观测器用于永磁同步电机反电势的估计。通过在低速、中高速，以及有无电阻、电感误差的情况下进行了试验及仿真验证，可以得到如下结论。

(1) 该观测器将传统的超螺旋观测器中加入了新的高幂次非线性项，能够有效提高其在误差较大情况下的收敛速度。

(2) 设计的用于电阻估计的自适应律，可以在电阻误差较大的情况下大大降低电阻误差对角度估计的影响。

(3) 改进观测器较传统方案具有更小的抖振现象、更快的收敛速度以及在电阻存在误差时具有更准确的位置估计性能。

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