双负载磁谐振S-LCL无线充电系统频率分叉分析

图1 双负载S-LCL谐振网络等效电路图

为方便公式推导，给出S-LCL谐振网络相关参数表达式，如表1所示。其中，相关参数有如下关系：L₁=L_S；L₂=L_t；${{\omega }_{1}}$=${{\omega }_{2}}$=${{\omega }_{P}}$=${{\omega }_{0}}$。

表1 双负载S-LCL系统相关表达式

参数名称	接收端1	接收端2	发射端
耦合系数	${{k}_{\mathrm{p}1}}=\frac{{{M}_{\mathrm{p}1}}}{\sqrt{{{L}_{1}}{{L}_{\mathrm{p}}}}}$	${{k}_{\mathrm{p}2}}=\frac{{{M}_{\mathrm{p}2}}}{\sqrt{{{L}_{2}}{{L}_{\mathrm{p}}}}}$	${{k}_{12}}=-\frac{{{M}_{12}}}{\sqrt{{{L}_{2}}{{L}_{1}}}}$
谐振频率	${{\omega }_{1}}\text{=}\frac{1}{\sqrt{{{L}_{1}}{{C}_{\mathrm{S}}}}}$	${{\omega }_{2}}\text{=}\frac{1}{\sqrt{{{L}_{2}}{{C}_{\mathrm{t}}}}}$	${{\omega }_{\mathrm{P}}}\text{=}\frac{1}{\sqrt{{{L}_{\mathrm{P}}}{{C}_{\mathrm{P}}}}}$
品质因素	${{Q}_{\mathrm{s}1}}=\frac{{{\omega }_{1}}{{L}_{1}}}{{{R}_{\mathrm{S}}}}$	${{Q}_{\mathrm{s}2}}=\frac{{{\omega }_{2}}{{L}_{2}}}{{{R}_{\mathrm{t}}}}$	${{Q}_{\mathrm{P}}}=\frac{{{\omega }_{\mathrm{P}}}{{L}_{\mathrm{P}}}}{{{R}_{\mathrm{P}}}}$

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根据图1列出KVL方程

(1)$\left[\begin{array}{c}U_{\mathrm{p}} \\ 0 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}Z_{\mathrm{p}} & -\mathrm{j} \omega M_{\mathrm{p} 1} &-\mathrm{j} \omega M_{\mathrm{p} 2} \\ -\mathrm{j} \omega M_{\mathrm{p} 1} & Z_{\mathrm{s}} & \mathrm{j} \omega M_{12} \\ -\mathrm{j} \omega M_{\mathrm{p} 2} & \mathrm{j} \omega M_{12} & Z_{\mathrm{t}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I_{\mathrm{p}} \\ I_1 \\ I_2\end{array}\right]$

其中，原边线圈电路阻抗Z_P，副边线圈阻抗Z_s、Z_t分别为

(2)$\left\{ \begin{matrix} {{Z}_{\mathrm{p}}}=\text{j}\omega {{L}_{\mathrm{p}}}+\frac{1}{\text{j}\omega {{C}_{\mathrm{p}}}}+{{R}_{\mathrm{p}}}\begin{matrix} {} & {} & {} \\\end{matrix} \\ {{Z}_{\mathrm{s}}}=\text{j}\omega {{L}_{1}}+(\text{j}\omega {{L}_{\mathrm{s}}}+{{R}_{1}})//\frac{1}{\text{j}\omega {{C}_{\mathrm{s}}}} \\ {{Z}_{\mathrm{t}}}=\text{j}\omega {{L}_{2}}+(\text{j}\omega {{L}_{\mathrm{t}}}+{{R}_{2}})//\frac{1}{\text{j}\omega {{C}_{\mathrm{t}}}} \\\end{matrix} \right.$

由式(1)得到次级干路电流与原级电路电流的关系为

(3)$\left\{ \begin{matrix} {{I}_{1}}=\frac{{{\omega }^{2}}{{M}_{\mathrm{p}2}}{{M}_{12}}+\text{j}\omega {{M}_{\mathrm{p}1}}{{Z}_{t}}}{{{Z}_{\mathrm{s}}}{{Z}_{t}}+{{\omega }^{2}}{{M}_{12}}^{2}}{{I}_{\mathrm{p}}} \\ {{I}_{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}{{M}_{\mathrm{p}1}}{{M}_{12}}+\text{j}\omega {{M}_{\mathrm{p}2}}{{Z}_{\mathrm{s}}}}{{{Z}_{\mathrm{s}}}{{Z}_{t}}+{{\omega }^{2}}{{M}_{12}}^{2}}{{I}_{\mathrm{p}}} \\\end{matrix} \right.$

由式(1)和式(3)可以得到原边电压与电流的关系为

(4)$\begin{gathered}\dfrac{U_p}{I_p}=Z_p+Z_{p-s}= \\Z_{\mathrm{p}}+\frac{\omega^{2}({M_{p1}}^{2}Z_{\mathrm{t}}+M_{p2}^{2}Z_{s})+2\mathrm{j}\omega^{3}M_{p1}M_{p2}M_{12}}{Z_{s}Z_{1}+\omega^{2}{M_{12}}^{2}}\end{gathered}$

由于在双负载系统中接收线圈相对发射线圈较小，同时两接收线圈距离较远，故不考虑两个副边线圈之间的互感，即M₁₂=0，根据式(3)和式(4)可以得到双负载系统的反射阻抗为

(5)${{Z}_{\mathrm{p-s}}}=\frac{{{\omega }^{2}}M_{\text{p1}}^{2}}{{{Z}_{\mathrm{s}}}}+\frac{{{\omega }^{2}}M_{\text{p2}}^{2}}{{{Z}_{t}}}$

设${{\omega }_{\mathrm{n}}}=\omega /{{\omega }_{0}}$，${{\omega }_{0}}$为系统谐振频率，$\omega $为系统当前工作频率，${{\omega }_{\mathrm{n}}}$表示工作频率对谐振频率的偏移程度。根据式(2)、式(5)将反射阻抗Z_P-S以实部R_P-S与虚部X_P-S的形式表示为

(6)$\left\{ \begin{matrix} {{R}_{\mathrm{P-S}}}=(k_{\mathrm{P}1}^{2}{{\alpha }_{1}}+k_{\mathrm{P}2}^{2}{{\alpha }_{2}})\omega {{L}_{\mathrm{P}}} \\ {{X}_{\mathrm{P-S}}}=(k_{\mathrm{P}1}^{2}{{\beta }_{1}}+k_{\mathrm{P}2}^{2}{{\beta }_{2}})\omega {{L}_{\mathrm{P}}} \\\end{matrix} \right.$

其中

(7)${{\alpha }_{i}}=\frac{{{\omega }_{n}}({{(1-\omega _{\mathrm{n}}^{2})}^{2}}+{{\omega }_{\mathrm{n}}}^{2}(2-\omega _{\mathrm{n}}^{2}))}{\frac{{{(1-{{\omega }_{\mathrm{n}}}^{2})}^{2}}}{{{Q}_{\mathrm{s}i}}}+\omega _{\mathrm{n}}^{2}{{Q}_{\mathrm{s}i}}{{(2-\omega _{\mathrm{n}}^{2})}^{2}}}$

(8)${{\beta }_{i}}=\frac{(\omega _{\mathrm{n}}^{2}-1){{\omega }_{\mathrm{n}}}^{2}Q_{\mathrm{s}i}^{2}(2-{{\omega }^{2}})+\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(1-\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}})}{{{(1-{{\omega }_{\mathrm{n}}}^{2})}^{2}}+\omega _{\mathrm{n}}^{2}Q_{\mathrm{s}i}^{2}{{(2-\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}})}^{2}}}$

式(7)、式(8)中$i=$1，2，将系统输出功率与传输效率用次级侧反映到初级侧的反射阻抗实部R_P-S与虚部X_P-S的方式表示^[12]

(9)$\left\{ \begin{matrix} P=\frac{U_{\mathrm{P}}^{\mathrm{2}}{{R}_{\mathrm{P-S}}}}{{{({{R}_{\mathrm{P}}}+{{R}_{\mathrm{P-S}}})}^{2}}+{{(\omega {{L}_{\mathrm{P}}}-\frac{1}{\omega {{C}_{\mathrm{P}}}}+{{X}_{\mathrm{P-S}}})}^{2}}} \\ \eta =\frac{{{R}_{\mathrm{P-S}}}}{{{R}_{\mathrm{P}}}+{{R}_{\mathrm{P-S}}}}\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} {} & {} & {} \\\end{matrix} & {} & {} \\\end{matrix} & {} & {} & {} \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right.$

2.2 频率分叉条件分析

磁耦合谐振式无线充电系统产生频率分叉现象的原因是由于谐振电容的引入导致系统总阻抗虚部为0且存在多个解，从而使得系统在不同工况下出现多个谐振点^[19]。确定合适的工作参数范围使得系统在不会出现频率分叉现象的情况下工作是提高系统稳定性的一个关键点^[16]。本节通过分析系统达到谐振的条件来确定分叉谐振频率以及规避频率分叉的参数变化范围。为方便计算，频率分叉分析在R₁=R₂=R条件下进行。

系统达到谐振的条件为发射端总阻抗虚部X_P为0，即

(10)${{X}_{\mathrm{p}}}=\omega{{L}_{\mathrm{P}}}-\frac{1}{\omega {{C}_{\mathrm{P}}}}+{{X}_{\mathrm{P-S}}}=0$

当$\omega \text{=}{{\omega }_{0}}$时，根据式(6)、式(10)得到原边谐振电容C_P的设计值为

(11)${{C}_{\mathrm{P}}}\text{=}\frac{1}{{{\omega }_{0}}^{2}{{L}_{\mathrm{P}}}}$

将式(6)、式(11)代入式(10)化简得到发射端总阻抗虚部为0，即

(12)${{X}_{\mathrm{p}}}=(\omega _{\mathrm{n}}^{2}-1)f({{Q}_{\mathrm{s}i}},{{k}_{\mathrm{p}1}},{{k}_{\mathrm{p}2}},{{\omega }_{\mathrm{n}}})=0$

其中

(13)$f({{Q}_{\mathrm{s}i}},{{k}_{\mathrm{p1}}},{{k}_{\mathrm{p2}}},{{\omega }_{\mathrm{n}}})=a\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{6}}+b\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{4}}+c\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}+1$

(14)$a=[1-(k_{\text{p1}}^{2}+k_{\text{p2}}^{2})]Q_{\mathrm{s}i}^{\mathrm{2}}$

(15)$b=[2(k_{\text{p1}}^{2}+k_{\text{p2}}^{2})-4]Q_{\mathrm{s}i}^{\mathrm{2}}-(k_{\text{p1}}^{2}+k_{\text{p2}}^{2})+1$

(16)$c=4Q_{\mathrm{s}i}^{\mathrm{2}}-2$

需要保证系统只在${{\omega }_{0}}$的频率下谐振，即式(12)只有${{\omega }_{\mathrm{n}}}=1$一个解，则式(13)在任何情况下都没有零点。设$x=\omega _{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}$，代入式(13)得到关于x的一元三次函数$f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+1=0$无解，由于磁耦合谐振系统采用的松耦合方式，故耦合系数k_p1、k_p2在实际应用中远小于1，即$a>0$，根据式(13)得到$f(0)=1>0$，${f}'(x)$恒有两个零点，根据一元三次方程的基本性质，推导出$f(x)$一定存在一个负数根，要使得$f(x)$在$x>0$范围内不存在零点，只需要满足

(17)$f{{(x)}_{\min }}=f\left( \frac{-2b+\sqrt{{{(2b)}^{2}}-4\times 3a\times c}}{2\times 3a} \right)>0$

根据式(14)~(17)推导出S-LCL谐振网络的双负载无线充电系统不出现频率分叉的边界条件为

(18)${{Q}_{\mathrm{s}i}}>\sqrt{\frac{9(1-(k_{\mathrm{p}1}^{2}+k_{\mathrm{p}2}^{2}))(2{{(k_{\mathrm{p}1}^{2}+k_{\mathrm{p}2}^{2})}^{2}}-22(k_{\mathrm{p}1}^{2}+k_{\mathrm{p}2}^{2})+1)}{216(6-4(k_{\mathrm{p}1}^{2}+k_{\mathrm{p}2}^{2})){{(k_{\mathrm{p}1}^{2}+k_{\mathrm{p}2}^{2})}^{2}}}}$

系统工作状态需要满足式(18)才能避免频率分叉现象。在电路参数固定的情况下，根据式(18)得到频率分叉现象的主要影响因素为负载阻值R以及耦合系数k_p1、k_p2。

根据式(12)得到$f({{\omega }_{\mathrm{n}}}^{2})=0$的解为分叉频率，通过公式法解出两个正根即系统分叉谐振频率表达式为

(19)$f({{\omega }_{\mathrm{n}1}})=\frac{{{\omega }_{0}}}{2\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sqrt{-\frac{b}{3a}+\frac{-\sqrt{3}j-1}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{3}}}{27{{a}^{3}}}-\frac{1}{2a}+\sqrt{\Delta }}+\frac{\sqrt{3}j-1}{2}\sqrt[3]{\frac{bc}{6{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{3}}}{27{{a}^{3}}}-\frac{1}{2a}-\sqrt{\Delta }}}$

(20)$f({{\omega }_{\mathrm{n}2}})=\frac{{{\omega }_{0}}}{2\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\sqrt{-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{\frac{bc}{6{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{3}}}{27{{a}^{3}}}-\frac{1}{2a}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{\frac{bc}{6{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{3}}}{27{{a}^{3}}}-\frac{1}{2a}-\sqrt{\Delta }}}$

其中

(21)$\Delta ={{\left( \frac{bc}{6{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{3}}}{27{{a}^{3}}}-\frac{1}{2a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{c}{3a}-\frac{{{b}^{2}}}{9{{a}^{2}}} \right)}^{3}}$

结合式(14)~(16)得到影响分叉谐振频率的因素有k_p1、k_p2以及Q_s_i，进一步得到主要影响因素为L_p、L₁、L₂和M_p1、M_p2以及R。

3 仿真与分析

3.1 系统参数设计

设定原边线圈等效电感值为329.88 μH，系统各参数数值如表2所示。

表2 无线充电系统参数表

参数	数值
原级谐振电容C_P/nF	28.65
原级线圈等效电感L_p/μH	329.88
内阻R_p/Ω	0.20
次级线圈等效电感L₁/μH	90.00
次级谐振电容C_S/nF	105.00
次级谐振电感L_S/μH	90.00
次级线圈等效电感L₂/μH	90.00
次级谐振电容C_t/nF	105.00
次级谐振电感L_t/μH	90.00
等效输入电源U_p/V	5.00
谐振工作频率f/kHz	51.70

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3.2 频率分叉条件仿真分析

将表2的各项数据代入式(19)、式(20)，在R₂=R₁=R的条件下，利用Matlab软件得到如图2所示的分叉仿真图形，图2中实线为系统谐振频率，点划线为$f({{\omega }_{\mathrm{n1}}})$，虚线为$f({{\omega }_{\mathrm{n2}}})$，其中图2a、2b是在k_p1、k_p2固定条件下不同负载的频率分叉情况，图2c、2d是在负载阻值R固定条件下不同负载的频率分叉情况，可以看出k_p1=k_p2=0.1时负载不产生频率分叉的临界值为R=200 Ω，k_p1=k_p2=0.15时负载不产生频率分叉的临界值为R=125 Ω，根据式(20)得到k_p1=k_p2=0.15时理论值为122.9 Ω，k_p1=k_p2=0.1时理论值为204.5 Ω，仿真值符合理论值。从图2b可以看出，S-LCL结构在携带远大于临界负载谐振频率的负载时，其分叉谐振频率基本保持不变。同时在S-LCL双负载谐振网络中，负载阻值减小则系统频率分叉临界耦合系数增大；而在SS结构中，负载阻值减小，系统频率分叉临界耦合系数减小^[8]，S-LCL结构的变化趋势和SS结构相反。因此S-LCL结构在耦合系数较小的情况下频率分叉临界负载比SS结构大，具有更强的带负载能力。

图2

图2 S-LCL双负载谐振网络的频率分叉图

将表2中数据代入式(9)，从系统输出特性的角度来分析频率分叉现象，如图3所示。

图3

图3 双负载S-LCL谐振网络输出特性频率分叉现象

从图3a、图3b可以看出，负载以及耦合系数的增大会导致输出功率曲线产生频率分叉现象，谐振频率点${{\omega }_{0}}$点处输出功率降低，分叉频率点输出功率增加；同时，分叉频率点之间频带带宽逐渐增大，也就是频率分叉现象的出现一定程度上降低了工作频率变化对系统输出功率的影响。

从图3c、3d可以看出，负载以及耦合系数的变化不会导致系统效率出现双峰的情况。对比图3c、图3d可得，耦合系数的增加会减缓工作频率的变化对系统效率的影响。

将表2中数据代入式(18)，结果如图4所示，当耦合系数以及负载取值满足图4所示区域内系统不会产生频率分叉现象。从图4可以看出，当耦合系数为0.1时，负载阻值临界点在200 Ω左右，耦合系数为0.15时，负载阻值临界点在125 Ω左右，符合图2的分析结果。

图4

图4 双负载S-LCL谐振网络耦合系数与负载取值范围

为验证所得到有关S-LCL谐振网络频率分叉结论的正确性，根据表2中的电路参数，利用Matlab/Simlulink软件搭建无线充电系统仿真电路模型，电路图如图5所示。

图5

图5 Matlab/Simlulink电路仿真电路图

发射端电路由5 V直流电源、高频逆变电路和S型谐振网络构成；接收端电路由副边LCL型谐振网络、整流滤波稳压电路以及负载构成。在45~60 kHz的工作频率下，通过改变负载阻值或谐振线圈耦合系数，观察负载上的输出电压变化，得到不同情况下系统输出电压随工作频率的变化情况如图6所示。

图6

图6 不同情况下系统输出电压随工作频率变化情况

图6a、6b中，当负载R增大到125 Ω或者耦合系数K增大到0.1时，系统输出电压曲线上出现了分叉现象，符合图4中的取值范围。随着R/K的增大，分叉现象越明显，分叉频率之间带宽不断增大，符合所得到的结论。从图6a中曲线可知，在系统谐振频率下，耦合系数K一定时，R变化不会影响S-LCL谐振网络的输出电压变化且稳定在12 V，验证了S-LCL谐振网络具备恒压输出的特性^[17]。

4 试验验证

根据上述仿真的分析结果，搭建SS结构与S-LCL结构对比试验验证平台。试验电路如图7所示，原副边线圈采用利兹线绕制而成，线圈参数如表3所示。

图7

图7 系统试验电路图

表3 线圈尺寸参数

线圈	外径/mm	内径/mm	利兹线线径/mm	匝数	利兹线间距/mm
原边线圈	75	25	2	12	1
副边线圈	30	10	2	6	0

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在实际试验中耦合系数较为难测量^[20]，选择改变原副边线圈之间间距模拟耦合系数变化的情况。系统输入电压为5 V，负载为100 Ω，对40~70 kHz工作频率下不同间距的系统进行试验，根据试验数据可以绘制图8所示图形。图8中，当线圈之间间距为2 cm时，耦合系数较大，只有S-LCL型谐振网络出现频率分叉现象；当间距为8 cm时，耦合系数较小，只有SS型出现频率分叉现象且S-LCL谐振网络的频率分叉现象消失。因此，随着耦合系数的逐渐减小，SS结构的分叉临界点逐渐减小，而S-LCL结构的分叉临界点逐渐增大。

图8

图8 不同距离情况下两种结构输出功率情况

综上所述，相比SS结构，S-LCL结构更适合耦合系数较小的情况。

5 结论

本文对S-LCL双负载无线充电系统频率分叉条件进行了研究。首先搭建了双负载系统等效电路，推导得出系统反映阻抗、输出功率以及传输效率的数学表达式。利用阻抗相角零点条件推导得出能够规避频率分叉现象的条件，并得到影响分叉谐振频率的主要影响因素有L_p、L₁、L₂和M_p1、M_p2以及负载R。设定电路参数，对理论结果进行仿真分析，得到如下结论。

(1) 对分叉谐振频率进行了仿真分析以及试验验证得到，对比SS结构，S-LCL结构在耦合系数较小的情况下频率分叉临界负载较大，具有更强的带负载能力。

(2) 从输出特性的角度对频率分叉的主要影响因素进行仿真分析。对于系统输出功率，系统在频率分叉区域有双峰输出特性，而在无分叉区域呈单峰输出特性。且随着频率分叉现象主要影响因素负载和耦合系数的增大，分叉谐振频率之间带宽增大。对于系统传输效率，影响因素的变化不会导致传输效率曲线出现双峰。

(3) 仿真得到可以规避频率分叉现象的负载-耦合系数的取值范围，明确其取值范围能够有效提高双负载S-LCL磁谐振无线充电系统的整体稳定性。

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