基于PID参数的时滞电力系统稳定性研究*

图1 频率调节系统

从图1可看出，LFC系统模型结构由五个子模型组成。各模型的简化传递函数式如下所示。

(1) 原动机模型。简化的传递函数式为^[15-16]

(1)

G_{T} (s) = \frac{1}{T_{T} s + 1}

式中，T_T为原动机的惯性时间常数。

(2) 发电机-负荷模型。该模型存在如下关系^[14]

(2)

Δ P_{m} (s) - Δ P_{d} (s) = M s Δ f (s) + D Δ f (s)

式中，ΔP_m为发电机机械功率的变化量；ΔP_d为负荷端功率的变化量；Δf为频率的变化量；D为发电机的阻尼系数；M为转动惯量。

(3) 辅助模型。目前电力系统中的电能频率控制一般采用PID控制器来实现，其模型的传递函数为^[14]

(3)

G_{K} (s) = \frac{u (s)}{ACE (s)} = K_{P} + \frac{K_{I}}{s} + K_{D} s

式中，K_P、K_I与K_D分别为PID控制器的比例、积分与微分增益；u和ACE分别为控制输出量和控制误差量；ACE可定义为^[17]

(4)

ACE (s) = β Δ f (s)

式中，β为偏差因子，可表示为

(5)

β = \frac{1}{R} + D

(4) 调速模型。其模型函数式可表示为

(6)

Δ P_{v} (s) = \frac{Δ P_{C} (s)}{1 + T_{G} s} - \frac{1}{1 + T_{G} s} \cdot \frac{Δ f (s)}{R}

式中， $Δ$ P_C是负荷参考值；R是调速器的速度跌落系数；T_G为调速器的惯性时间常数。

(5) 时滞模型。时滞主要体现在测量信号的收集与发送中，常采用函数式 $e xp (- s τ)$ 来表示，τ反映了时滞的大小。

综合上述所示，可得出简化的时滞LFC系统结构框图如图2所示^[17]。

图2

图2 考虑通信延迟的LFC系统结构框图

定义x(t)和y(t)分别为系统的状态变量和输出变量，由图2可知

(7)

\begin{matrix} x (t) = {[\begin{matrix} Δ f & Δ P_{m} & Δ P_{v} \end{matrix}]}^{T} \\ y (t) = ACE (t) \end{matrix}

则系统状态空间模型可以表示为

(8)

\{\begin{cases} \dot{x} (t) = A x (t) + B u (t - τ (t)) + F w (t) \\ y (t) = C x (t) \end{cases}

式中， $w (t) = Δ P_{d} ； u (t - τ (t)) = Δ P_{C} (t) ； C = [\begin{matrix} β^{T} & 0 & 0 \end{matrix}] ；$

$A = [\begin{matrix} - \frac{D}{M} & \frac{1}{M} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{T_{T}} & \frac{1}{T_{T}} \\ - \frac{1}{T_{G} R} & 0 & - \frac{1}{T_{G}} \end{matrix}] ；$ $B = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \end{array} \\ 0 \\ \frac{1}{T_{G}} \end{matrix}] ； F = [\begin{matrix} - \frac{1}{M} \\ 0 \\ \begin{array}{l} 0 \end{array} \end{matrix}] 。$

同时，PID控制器可描述为

(9)

u (t) = K_{P} ACE (t) + K_{I} \int ACE (t) d t + K_{D} \frac{d ACE (t)}{d t}

假定系统的虚拟变量为

(10)

\begin{matrix} \bar{y} (t) = {[\begin{matrix} y^{T} (t) & \int y^{T} (t) d t & \frac{d}{d t} y^{T} (t) \end{matrix}]}^{T} \\ \bar{x} (t) = {[\begin{matrix} x^{T} (t) & \int y^{T} (t) d t \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

由于CB=0，结合式(8)、(9)，可得出如下静态输出反馈控制系统模型

(11)

\{\begin{cases} \dot{\bar{x}} (t) = \bar{A} \bar{x} (t) + \bar{B} u (t - τ (t)) + \bar{F} w (t) \\ \bar{y} (t) = \bar{C} \bar{x} (t) + {\bar{D}}_{W} w (t) \\ u (t) = - K \bar{y} (t) \end{cases}

\bar{A} = [\begin{matrix} A & 0 \\ C & 0 \end{matrix}] \bar{B} = [\begin{matrix} B \\ 0 \end{matrix}] \bar{F} = [\begin{matrix} F \\ 0 \end{matrix}] \bar{C} = [\begin{matrix} C & 0 \\ 0 & 1 \\ C A & 0 \end{matrix}]

{\bar{D}}_{W} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ C F \end{matrix}] K = [\begin{matrix} K_{P} & K_{I} & K_{D} \end{matrix}]

对上述系统进行简化，可得出如下时滞线性系统

(12)

\dot{\bar{x}} (t) = \bar{A} \bar{x} (t) + {\bar{A}}_{d} \bar{x} (t - τ (t)) + {\bar{B}}_{w} w (t)

式中， ${\bar{A}}_{d} = - \bar{B} K \bar{C} ； {\bar{B}}_{w} = \bar{F} - \bar{B} K {\bar{D}}_{w} 。$

假设 ${\bar{x}}^{*} (t)$ 为系统的平衡点，则存在

(13)

0= \bar{A} {\bar{x}}^{*} (t) + {\bar{A}}_{d} {\bar{x}}^{*} (t - τ (t)) + {\bar{B}}_{w} w (t)

令 $x_{s} (t) = \bar{x} (t) - {\bar{x}}^{*} (t) ； A_{s} = \bar{A} ； A_{ds} = {\bar{A}}_{d}$ 。由式(12)减式(13)可得

(14)

{\dot{x}}_{s} (t) = A_{s} x_{s} (t) + A_{ds} x_{s} (t - τ (t))

(15)

A_{s} = [\begin{matrix} - \frac{D}{M} & \frac{1}{M} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{T_{T}} & \frac{1}{T_{T}} & 0 \\ - \frac{1}{T_{G} R} & 0 & - \frac{1}{T_{G}} & 0 \\ β & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

(16)

A_{ds} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{β K_{P}}{T_{G}} - \frac{β D K_{D}}{M T_{G}} & \frac{β K_{D}}{M T_{G}} & 0 & \frac{K_{I}}{T_{G}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

则线性时滞系统数学模型为

(17)

\{\begin{cases} \dot{x} (t) = A_{s} x (t) + A_{ds} x (t - τ (t)) t > 0 \\ x (t) = ϕ (t) t \in [- τ ， 0] \end{cases}

式中，A_s与A_ds为系统矩阵；τ(t)是时变时滞函数且满足0≤τ(t)≤τ， $|\dot{τ} (t)| \leq u$ ，ϕ(t)是系统的初始状态。

3 稳定新判据

3.1 主要引理

为推导出本文新判据，需要用到以下三个引理。其中，Rⁿ^×^m表示实数域的n×m阶矩阵空间，Rⁿ表示n维向量空间；N为非负整数(即自然数)；Sⁿ^×ⁿ表示n×n的实对称矩阵，上标“T”为矩阵的转置；0代表合适维度的零矩阵；P>0表示矩阵P为正定对称；diag{…}表示对角矩阵；Sym{X}=X+X^T。

引理1^[18]：给定一个n×n实对称正定矩阵R，如果存在标量α、β(α<β)和向量值函数ω，则有以下积分不等式成立

(18)

\int_{α}^{β} {\dot{ω}}^{T} (s) R \dot{ω} (s) d s \geq \frac{1}{β - α} Ω^{T} (α, β) \bar{R} Ω (α, β)

\begin{matrix} \bar{R} = d i a g \{R, 3 R, 5 R\} \\ Ω (α, β) = {[\begin{matrix} ϑ_{0}^{T} & ϑ_{1}^{T} & ϑ_{2}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ ϑ_{0} = ω (β) - ω (α) \\ ϑ_{1} = ω (β) + ω (α) - \frac{2}{β - α} \int_{α}^{β} ω (s) d s \\ ϑ_{2} = ω (β) - ω (α) + \frac{6}{β - α} \int_{α}^{β} ω (s) d s - \\ \frac{12}{{(β - α)}^{2}} \int_{α}^{β} \int_{θ}^{β} ω (s) d s d θ \end{matrix}

引理2^[13]：对于一个n×n实对称正定矩阵R和标量α$\epsilon$(0,1)，如果存在实对称矩阵X₁、X₂、X₃、X₄$\epsilon$Sⁿ^×ⁿ和任意实矩阵Y₁、Y₂、Y₃、Y₄$\epsilon$Rⁿ^×ⁿ，满足不等式

(19)

\begin{matrix} α^{2} [\begin{matrix} X_{3} & Y_{3} + Y_{4} \\ * & X_{4} \end{matrix}] + α [\begin{matrix} X_{1} & Y_{1} - Y_{2} - 2 Y_{4} \\ * & - X_{2} - 2 X_{4} \end{matrix}] + \\ [\begin{matrix} - R & Y_{2} + Y_{4} \\ * & - R + X_{2} + X_{4} \end{matrix}] \leq 0 \end{matrix}

则有

(20)

[\begin{matrix} \frac{1}{α} R & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 - α} R \end{matrix}] \geq [\begin{matrix} R + T_{1} & T_{2} \\ * & R + T_{3} \end{matrix}]

T₁=(1-α)X₁+α(1-α)X₃

T₂=αY₁+(1-α)Y₂+α²Y₃+(1-α)²Y₄

T₃=αX₂+α(1-α)X₄

引理3^{[7, 13]}：给定函数 $f (s) = a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ ，其中 $s$ $\epsilon$[0,τ]且 $α_{2}$ ， $α_{1}$ ， $α_{0} \in R^{n}$ 。如果有以下条件成立，则f(s)<0成立。

(1) $f (0) < 0$ 。

(2) $f (τ) < 0$ 。

(3) $\frac{τ}{2^{N + 1}} \dot{f} (\frac{i - 1}{2^{N}} τ) + f (\frac{i - 1}{2^{N}} τ) < 0$ 。

其中， $N \in N ， i = 1, 2, \dots, 2^{N}$ 。

3.2 主要结论

本节应用扩展的逆凸二次不等式技术，推导出系统矩阵含PID参数的时滞LFC系统稳定新判据。为了简化表示，首先定义如下向量和矩阵。

\begin{matrix} η_{1} (t) = {[\begin{matrix} η_{1 a}^{T} (t) & η_{1 b}^{T} (t) & η_{1 c}^{T} (t) \end{matrix}]}^{T} \\ η_{1 a} (t) = {[\begin{matrix} x^{Τ} (t) & x^{Τ} (t - τ (t)) & x^{Τ} (t - τ) \end{matrix}]}^{T} \\ η_{1 b} (t) = {[\frac{1}{τ (t)} \int_{t - τ (t)}^{t} x^{T} (s) d s]}^{T} \end{matrix}

η_{1 c} (t) = {[\frac{1}{τ^{2} (t)} \int_{t - τ (t)}^{t} \int_{t - τ (t)}^{θ} x^{T} (s) d s d θ]}^{T}

η_{2} (t)= {[\begin{matrix} η_{1a}^{T} (t) & η_{2b}^{T} (t) & η_{2c}^{T} (t) \end{matrix}]}^{T}

\begin{matrix} η_{2 b} (t) = {[\frac{1}{h - τ (t)} \int_{t - τ}^{t - τ (t)} x^{T} (s) d s]}^{T} \\ η_{2 c} (t) = {[\frac{1}{{[h - τ (t)]}^{2}} \int_{t - τ}^{t - τ (t)} \int_{t - τ}^{θ} x^{T} (s) d s d θ]}^{T} \end{matrix}

\begin{matrix} η_{3} (t, s)= {[\begin{matrix} η_{3a}^{T} (t, s) & η_{3b}^{T} (t, s) \end{matrix}]}^{T} \\ η_{3a} (t, s)= {[\begin{matrix} {\dot{x}}^{T} (s) & x^{T} (s) & \int_{s}^{t} x^{T} (θ) d θ \end{matrix}]}^{T} \\ η_{3b} (t, s)= {[\int_{t - τ (t)}^{s} x^{T} (θ) d θ]}^{T} \end{matrix}

\begin{matrix} η_{4} (t, s)= {[\begin{matrix} η_{4a}^{T} (t, s) & η_{4b}^{T} (t, s) \end{matrix}]}^{T} \\ η_{4a} (t, s)= {[\begin{matrix} {\dot{x}}^{T} (s) & x^{T} (s) & \int_{s}^{t - τ (t)} x^{T} (θ) d θ \end{matrix}]}^{T} \\ η_{4b} (t, s)= {[\int_{t - τ}^{s} x^{T} (θ) d θ]}^{T} \end{matrix}

ξ (t) = {[\begin{matrix} η_{1 a}^{T} (t) & ξ_{1}^{T} (t) & ξ_{2}^{T} (t) & ξ_{3}^{T} (t) & ξ_{4}^{T} (t) \end{matrix}]}^{Τ}

$\begin{matrix} ξ_{1} (t) = {[{\dot{x}}^{Τ} (t - τ (t)) {\dot{x}}^{Τ} (t - τ) \frac{1}{τ (t)} \int_{t - τ (t)}^{t} x^{Τ} (s) d s]}^{Τ} \\ ξ_{2} (t) = {[\frac{1}{τ - τ (t)} \int_{t - τ}^{t - τ (t)} x^{Τ} (s) d s]}^{Τ} \end{matrix}$ $\begin{matrix} ξ_{3} (t) = {[\frac{1}{τ^{2} (t)} \int_{t - τ (t)}^{t} \int_{θ}^{t} x^{Τ} (s) d s d θ]}^{Τ} \\ ξ_{4} (t) = {[\frac{1}{(τ - τ {(t))}^{2}} \int_{t - τ}^{t - τ (t)} \int_{θ}^{t - τ (t)} x^{Τ} (s) d s d θ]}^{Τ} \end{matrix}$

$e_{i} = [\begin{matrix} 0_{n \times (i - 1) n} & I_{n} & 0_{n \times (9 - i) n} \end{matrix}]$ $i = 1, 2, \dots, 9$

基于构造的时滞乘积型泛函和逆凸二次不等式方法，得到以下稳定性准则。

定理1：给定两个标量u和τ>0，若存在对称矩阵Q₁($\epsilon$S⁴ⁿ^×4ⁿ)>0，Q₂($\epsilon$S⁴ⁿ^×4ⁿ)>0，P₁₁$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₁₂$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₂₁$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₂₂$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，Z($\epsilon$Sⁿ^×ⁿ)>0，对称矩阵X₁、X₂、X₃、X₄$\epsilon$S³ⁿ^×3ⁿ和任意矩阵Y₁、Y₂、Y₃、Y₄$\epsilon$R³ⁿ^×3ⁿ，当式(17)满足时滞约束条件 $τ (t) \in [0, τ]$ ， $|\dot{τ} (t)| \leq u$ 时，则有

(21)

P_{11} + τ (t) P_{12} > 0

(22)

P_{21} + (τ - τ (t)) P_{22} > 0

(23)

α^{2} Φ_{2} + α Φ_{1} + Φ_{0} \leq 0

(24)

τ^{2} (t) ϒ_{2} + τ (t) ϒ_{1} + ϒ_{0} \leq 0

则数学模型为式(17)的系统是渐近稳定的。

\begin{matrix} Φ_{0} = [\begin{matrix} - \bar{Z} & Y_{2} + Y_{4} \\ * & - \bar{Z} + X_{2} + X_{4} \end{matrix}] \\ Φ_{1} = [\begin{matrix} X_{1} & Y_{1} - Y_{2} - 2 Y_{4} \\ * & - X_{2} - 2 X_{4} \end{matrix}] \\ Φ_{2} = [\begin{matrix} X_{3} & Y_{3} + Y_{4} \\ * & X_{4} \end{matrix}] \end{matrix}

\begin{matrix} ϒ_{0} =Sym{Π_{11}^{T} P_{11} λ_{2} + Π_{21}^{T} (τ P_{21} + τ^{2} P_{22}) λ_{1} + Π_{51}^{T} Q_{1} λ_{4} + \\ Π_{21}^{T} (P_{21} + τ P_{22}) λ_{3} + Π_{81}^{T} Q_{2} λ_{5} - M_{1}^{T} (Y_{1} + Y_{3}) M_{2}} + \\ \dot{τ} (t) Π_{11}^{T} P_{11} Π_{11} - \dot{τ} (t) Π_{21}^{T} (P_{21} + 2 τ P_{22}) Π_{21} - \\ (1 - \dot{τ} (t)) Π_{41}^{T} Q_{1} Π_{41} + (1 - \dot{τ} (t)) Π_{61}^{T} Q_{2} Π_{61} - \\ Π_{71}^{T} Q_{2} Π_{71} + Π_{31}^{T} Q_{1} Π_{31} + τ^{2} e_{0}^{T} Z e_{0} - M_{1}^{T} \bar{Z} M_{1} - \\ M_{2}^{T} (\bar{Z} + X_{2}) M_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} ϒ_{1} =Sym{Π_{11}^{T} P_{11} λ_{1} + Π_{11}^{T} P_{12} λ_{2} - Π_{21}^{T} (P_{21} + 2 τ P_{22}) λ_{1} - \\ Π_{21}^{T} P_{22} λ_{3} + Π_{31}^{T} Q_{1} Π_{32} - (1 - \dot{τ} (t)) Π_{41}^{T} Q_{1} Π_{42} + \\ Π_{52}^{T} Q_{1} λ_{4} - Π_{82}^{T} Q_{2} λ_{5} + (1 - \dot{τ} (t)) Π_{61}^{T} Q_{2} Π_{62} - \\ Π_{71}^{T} Q_{2} Π_{72} + M_{1}^{T} (\frac{1}{τ} Y_{1} - \frac{1}{τ} Y_{2} + \frac{2}{τ} Y_{3}) M_{2}} + \\ 2 \dot{τ} (t) Π_{11}^{T} P_{12} Π_{11} + 2 \dot{τ} (t) Π_{21}^{T} P_{22} Π_{21} - \\ M_{1}^{T} (\frac{1}{τ} X_{1} + \frac{1}{τ} X_{3}) M_{1} - M_{2}^{T} (\frac{1}{τ} X_{4} - \frac{1}{τ} X_{2}) M_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} ϒ_{2} =Sym{Π_{11}^{T} P_{12} λ_{1} + Π_{21}^{T} P_{22} λ_{1} + Π_{53}^{T} Q_{1} λ_{4} + Π_{83}^{T} Q_{2} λ_{5} - \\ M_{1}^{T} (\frac{1}{τ^{2}} Y_{3} + \frac{1}{τ^{2}} Y_{4}) M_{2}} - (1 - \dot{τ} (t)) Π_{42}^{T} Q_{1} Π_{42} + \\ Π_{32}^{T} Q_{1} Π_{32} - Π_{72}^{T} Q_{2} Π_{72} + (1 - \dot{τ} (t)) Π_{62}^{T} Q_{2} Π_{62} + \\ M_{1}^{T} (\frac{1}{τ^{2}} X_{3}) M_{1} + M_{2}^{T} (\frac{1}{τ^{2}} X_{4}) M_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} Π_{11} = {[\begin{matrix} e_{1}^{T} & e_{2}^{T} & e_{3}^{T} & e_{6}^{T} & e_{6}^{T} - e_{8}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{21} = {[\begin{matrix} e_{1}^{T} & e_{2}^{T} & e_{3}^{T} & e_{7}^{T} & e_{7}^{T} - e_{9}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{31} = {[\begin{matrix} e_{0}^{T} & e_{1}^{T} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} Π_{32} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & e_{6}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{41} = {[\begin{matrix} e_{4}^{T} & e_{2}^{T} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} Π_{42} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & e_{6}^{T} & 0 \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

\begin{matrix} Π_{51} = {[\begin{matrix} e_{1}^{T} - e_{2}^{T} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{52} = {[\begin{matrix} 0 & e_{6}^{T} & 0 & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{53} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & e_{8}^{T} & e_{6}^{T} - e_{8}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{61} = {[\begin{matrix} e_{4}^{T} & e_{2}^{T} & 0 & τ e_{7}^{T} \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{62} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - e_{7}^{T} \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

\begin{matrix} Π_{71} = {[\begin{matrix} e_{5}^{T} & e_{3}^{T} & τ e_{7}^{T} & 0 \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{72} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & - e_{7}^{T} & 0 \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

\begin{matrix} Π_{81} = {[\begin{matrix} e_{2}^{T} - e_{3}^{T} & τ e_{7}^{T} & τ^{2} e_{9}^{T} & τ^{2} (e_{7}^{T} - e_{9}^{T}) \end{matrix}]}^{T} \\ Π_{82} = {[\begin{matrix} 0 & e_{7}^{T} & 2 τ e_{9}^{T} & 2 τ (e_{7}^{T} - e_{9}^{T}) \end{matrix}]}^{T} \end{matrix}

Π_{83} = {[\begin{matrix} 0 & 0 & e_{9}^{T} & e_{7}^{T} - e_{9}^{T} \end{matrix}]}^{T}

$\begin{array}{l} \lambda_{1}=\left[\begin{array}{lllll} \boldsymbol{e}_{0}^{\mathrm{T}} & (1-\dot{\tau}(t)) \boldsymbol{e}_{4}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{e}_{5}^{\mathrm{T}} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \lambda_{2}=\left[\begin{array}{l} \tau_{1} \\ \tau_{2} \end{array}\right] \quad \lambda_{3}=\left[\begin{array}{l} \tau_{3} \\ \tau_{4} \end{array}\right] \\ \tau_{1}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}-(1-\dot{\tau}(t)) \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-\dot{\tau}(t) \boldsymbol{e}_{6}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} \tau_{2}=\left[\boldsymbol{e}_{6}^{\mathrm{T}}-(1-t(t)) \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-2(t)\left(\boldsymbol{e}_{6}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{8}^{\mathrm{T}}\right)\right]^{\mathrm{T}} \\ \tau_{3}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & (1-\boldsymbol{d}(\boldsymbol{t})) \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{z}(\boldsymbol{t}) \boldsymbol{e}_{7}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \tau_{4}=\left[(1-\boldsymbol{t}(t)) \boldsymbol{e}_{7}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}+2 \tau(t)\left(\boldsymbol{e}_{7}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{9}^{\mathrm{T}}\right)\right]^{\mathrm{T}} \\ \lambda_{4}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}} & -(1-\boldsymbol{d}(t)) \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \lambda_{5}=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{0} & \mathbf{0} & (1-\boldsymbol{c}(t)) \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} & -\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{M}_{1}=\left[\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}-2 \boldsymbol{e}_{7}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}+6 \boldsymbol{e}_{7}^{\mathrm{T}}-12 \boldsymbol{e}_{9}^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{M}_{2}=\left[\boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}-2 \boldsymbol{e}_{6}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}}-\boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}}+6 \boldsymbol{e}_{6}^{\mathrm{T}}-12 \boldsymbol{e}_{8}^{\mathrm{T}}\right]^{\mathrm{T}} \\ \end{array}$

e_{0} = A_{s} e_{1} + A_{ds} e_{2}

\bar{Z} = d i a g {Z, 3 Z, 5 Z}

α = \frac{τ - τ (t)}{τ} \in [0, 1]

证明：首先，选取如下Lyapunov-Krasovskii泛函

(25)

\{\begin{cases} V (t) = V_{1} (t)+ V_{2} (t)+ V_{3} (t) \\ V_{1} (t)= τ (t) η_{1}^{T} (t) P_{1} (t) η_{1} (t) + (τ - τ (t)) η_{2}^{T} (t) P_{2} (t) η_{2} (t) \\ V_{2} (t)= \int_{t - τ (t)}^{t} η_{3}^{T} (t, s) Q_{1} η_{3} (t, s) d s + \int_{t - τ}^{t - τ (t)} η_{4}^{T} (t, s) Q_{2} η_{4} (t, s) d s \\ V_{3} (t)= τ \int_{- τ}^{0} \int_{t + θ}^{t} {\dot{x}}^{T} (s) Z \dot{x} (s) d s d θ \end{cases}

式中， $P_{1} (t) = P_{11} + τ (t) P_{12}, P_{2} (t) = P_{21} +(τ - τ (t)) P_{22}$ 。

注释1：V₁(t)中的耦合矩阵包含时变矩阵P₁(t)和P₂(t)两部分，此时不需要P₁₁、P₁₂、P₂₁和P₂₂均大于0，只需要 $P_{11} + τ (t) P_{12} > 0$ 和 $P_{21} +[τ - τ (t)] P_{22} > 0$ 即可，这增大了矩阵P₁₂和P₂₂的自由度，从而降低了稳定性条件的保守性。当P₁(t)>0、P₂(t)>0、Q₁>0、Q₂>0和Z>0时，则V(t)>0，即该泛函正定。

然后，对V(t)沿着系统轨迹进行求导运算可得

\dot{V} (t) = {\dot{V}}_{1} (t)+ {\dot{V}}_{2} (t)+ {\dot{V}}_{3} (t)

(26)

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} (t) =2 τ (t) η_{1}^{T} (t) P_{1} (t) {\dot{η}}_{1} (t) + τ (t) η_{1}^{T} (t) {\dot{P}}_{1} (t) η_{1} (t) + \\ \dot{τ} (t) η_{1}^{T} (t) P_{1} (t) η_{1} (t) + 2 (τ - τ (t)) η_{2}^{T} (t) P_{2} (t) {\dot{η}}_{2} (t) + \\ (τ - τ (t)) η_{2}^{T} (t) {\dot{P}}_{2} (t) η_{2} (t) - \dot{τ} (t) η_{2}^{T} (t) P_{2} (t) η_{2} (t) \end{matrix}

(27)

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} (t) = η_{3}^{T} (t, t) Q_{1} η_{3} (t, t) - η_{4}^{T} (t, t - τ) Q_{2} η_{4} (t, t - τ) - \\ (1 - \dot{τ} (t)) η_{3}^{T} (t, t - τ (t)) Q_{1} η_{3} (t, t - τ (t)) + \\ (1 - \dot{τ} (t)) η_{4}^{T} (t, t - τ (t)) Q_{2} η_{4} (t, t - τ (t)) + \\ 2 \int_{t - τ (t)}^{t} η_{3}^{T} (t, s) Q_{1} \frac{\partial η_{3} (t, s)}{\partial t} d s + \\ 2 \int_{t - τ}^{t - τ (t)} η_{4}^{T} (t, s) Q_{2} \frac{\partial η_{4} (t, s)}{\partial t} d s \end{matrix}

(28)

{\dot{V}}_{3} (t) = τ^{2} {\dot{x}}^{T} (t) Z \dot{x} (t) - τ \int_{t - τ}^{t} {\dot{x}}^{T} (s) Z \dot{x} (s) d s

基于引理1可得

(29)

\begin{matrix} τ \int_{t - τ}^{t} {\dot{x}}^{T} (s) Z \dot{x} (s) d s \geq \\ ξ^{T} (t) [\frac{1}{α} M_{1}^{T} \bar{Z} M_{1} + \frac{1}{1 - α} M_{2}^{T} \bar{Z} M_{2}] ξ (t) \end{matrix}

基于引理2，式(29)右边的逆凸项可以被处理为

(30)

\begin{matrix} ξ^{T} (t) [\frac{1}{α} M_{1}^{T} \bar{Z} M_{1} + \frac{1}{1 - α} M_{2}^{T} \bar{Z} M_{2}] ξ (t) \geq \\ ξ^{T} (t) [Μ_{1}^{T} {\bar{Τ}}_{1} Μ_{1} + 2 Μ_{1}^{T} {\bar{Τ}}_{2} Μ_{2} + Μ_{2}^{T} {\bar{Τ}}_{3} Μ_{2}] ξ (t) \end{matrix}

其中

\begin{matrix} {\bar{Τ}}_{1} = \bar{Z} + (1 - α) X_{1} + α (1 - α) X_{3} \\ {\bar{Τ}}_{2} = α Y_{1} + (1 - α) Y_{2} + α^{2} Y_{3} + {(1 - α)}^{2} Y_{4} \\ {\bar{Τ}}_{3} = \bar{Z} + α X_{2} + α (1 - α) X_{4} \end{matrix}

综合式(26)~(30)可以得出

\dot{V} (t) \leq ξ^{T} (t) [τ^{2} (t) ϒ_{2} + τ (t) ϒ_{1} + ϒ_{0}] ξ (t)

式中， $ϒ_{0}$ 、 $ϒ_{1}$ 和 $ϒ_{2}$ 定义在定理1中。

因此，时滞在满足约束条件 $τ (t) \in [0, τ]$ 和 $|\dot{τ} (t)| \leq u$ 时，若式(24)成立，则有 $\dot{V} (t) < 0$ 成立，从而可以证明数学模型为式(17)的系统是渐近稳定的。

注释2：由于式(23)和式(24)分别是关于 $α$ 和 $τ (t)$ 的二次函数，因此需要采用二次函数不等式处理方法将其转化为LMI形式的稳定性条件。基于引理3可以得到以下稳定性条件。

定理2：给定两个标量u和τ>0，若存在对称矩阵Q₁(Q₁$\epsilon$S⁴ⁿ^×4ⁿ)>0，Q₂(Q₂$\epsilon$S⁴ⁿ^×4ⁿ)>0，P₁₁$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₁₂$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₂₁$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，P₂₂$\epsilon$S⁵ⁿ^×5ⁿ，Z(Z$\epsilon$Sⁿ^×ⁿ)>0，对称矩阵X₁，X₂，X₃，X₄$\epsilon$S³ⁿ^×3ⁿ和任意矩阵Y₁，Y₂，Y₃，Y₄$\epsilon$R³ⁿ^×3ⁿ，当系统满足时滞约束条件 $τ (t) \in [0, τ]$ 、 $|\dot{τ} (t)| \leq u$ 且满足式(21)、(22)时，则有

(31)

Φ_{0} \leq 0

(32)

Φ_{2} + Φ_{1} + Φ_{0} \leq 0

(33)

(\frac{1}{2^{N}} {\bar{χ}}_{j} + {\bar{χ}}_{j}^{2}) Φ_{2} + (\frac{1}{2^{N + 1}} + {\bar{χ}}_{j}) Φ_{1} + Φ_{0} \leq 0

(34)

ϒ_{0} \leq 0

(35)

τ^{2} ϒ_{2} + τ ϒ_{1} + ϒ_{0} \leq 0

(36)

(\frac{τ}{2^{N}} {\tilde{χ}}_{j} + {\tilde{χ}}_{j}^{2}) ϒ_{2} + (\frac{τ}{2^{N + 1}} + {\tilde{χ}}_{j}) ϒ_{1} + ϒ_{0} \leq 0

则式(17)是渐近稳定的。

式中， ${\bar{χ}}_{j} = \frac{j - 1}{2^{N}} ， {\tilde{χ}}_{j} = \frac{j - 1}{2^{N}} τ ， j = 1, 2 ， \dots ， 2^{N} 。$

4 数值算例分析

针对文献[19]中提出的PID控制器的时域性和鲁棒性与两个参数有关的结论，本节深入分析了PID参数对电力系统中LFC系统稳定性的影响。

4.1 典型二阶系统

本文通过两个常用二阶系统算例来验证新判据的有效性，通过试验仿真证明了新判据在改善系统保守性方面与其他方法相比具有显著优越性。

二阶系统矩阵方程算例一

A_{s} = [\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 0.9 \end{matrix}] A_{ds} = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}]

借助Matlab中的LMI工具箱对本文获得的稳定新判据进行试验仿真，试验运算结果及基于相关文献中的稳定性判据获得的结果如表1所示。其中“—”表示在相应的文献中没有提供这种情况的最大时滞允许上界。

表1 给定不同u时的系统时滞上界τ_max

u	0.1	0.2	0.5	0.8
文献[15]	4.724	3.87	2.67	2.56
文献[20]	4.841	4.163	3.284	2.835
文献[21]	4.939	—	3.298	2.869
文献[22]	4.945	—	3.314	2.882
文献[23]推论1情形(I)	4.946	4.279	3.337	2.918
文献[23]推论1情形(II)	4.966	4.319	3.395	2.983
本文定理2(N=1)	4.961	4.310	3.387	2.977
本文定理2(N=2)	4.984	4.354	3.444	3.015

由表1可以看出，应用本文推导出的新判据，能让系统的保守性得到很大改善。当u=0.1，N=1时，基于本文定理2获得的最大时滞允许上界是4.961，由文献[23]中的推论1情形(I)得到的运算结果是4.946，改善率达到0.303%；而给定u=0.1时，文献[22]得出的运算结果与文献[21]相比提高了0.006，改善率仅为0.121%。上述对比结果说明，将本文新判据应用于二阶系统矩阵方程算例一中，确实降低了系统的保守性。另外，由图3还可以进一步看出，由本文定理2(N=2)得出的系统最大允许时滞上界τ_max明显大于文献[23]推论1情形(II)与文献[22]中的结果，这充分说明了本文构造的时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii泛函以及在界定泛函导数时所应用的扩展逆凸二次不等式方法在降低系统保守性方面与文献[22-23]中的增广型Lyapunov-Krasovskii以及在界定泛函导数时所应用的其他方法相比具有明显优势。本文构造的时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii泛函考虑了更多系统状态信息，并增大了矩阵P₁₂和P₂₂的自由度，而本文应用的扩展逆凸二次不等式方法在界定泛函导数中出现的积分项时，能使计算值更接近于理论值，从而有效降低了系统的保守性。

图3

图3 通过改变u获得不同判据下系统的最大允许时滞上界τ_max

二阶系统矩阵方程算例二

A_{s} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}] A_{ds} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]

用同样的试验运算方法，可以得出试验运算结果如表2所示。

表2 给定不同u时的系统时滞上界τ_max

u	0.1	0.2	0.5	0.8
文献[21]	7.401	4.765	2.709	2.091
文献[23]推论1 情形(I)	7.428	4.825	2.749	2.114
文献[23]推论1情形(II)	7.572	4.947	2.801	2.137
本文定理2(N=1)	7.538	4.923	2.797	2.136
本文定理2(N=2)	7.600	4.959	2.813	2.146

将本文新判据应用于二阶系统矩阵算例二中进行仿真后发现，本文新判据在算例二中也能减小系统的保守性。

通过对以上二阶系统矩阵方程的算例仿真验证后，可以得出共同结论：本文提出的稳定性准则具有更小的保守性，并且与其他文献中提出的方法相比具有显著的优越性。

4.2 含PID参数的LFC系统

本文将新判据应用于系统矩阵中含PID参数的时滞电力系统稳定性分析当中，目的在于探讨含PID参数的时滞电力系统稳定性问题，进一步验证本文新判据的有效性。

LFC系统矩阵方程算例

A_{s} = [\begin{matrix} - \frac{D}{M} & \frac{1}{M} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{T_{T}} & \frac{1}{T_{T}} & 0 \\ - \frac{1}{T_{G} R} & 0 & - \frac{1}{T_{G}} & 0 \\ β & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

A_{ds} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{β K_{P}}{T_{G}} - \frac{β D K_{D}}{M T_{G}} & \frac{β K_{D}}{M T_{G}} & 0 & \frac{K_{I}}{T_{G}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

根据已建立的LFC系统矩阵方程A_s、A_ds以及相关参数^[14](其中，D=1.0、T_G=0.10、R=0.05、M=10和T_T=0.3)，利用Matlab中的Yalmip优化工具集成器和SDPT 3.0来求解系统矩阵中含PID参数的时滞电力系统处于定常时滞(u=0)和时变时滞(u=0.5)情况下，PI控制增益与系统时滞稳定上界之间的关系。运算结果如表3、4所示。

表3 K_P、K_I分别取不同值时的系统时滞上界τ_max(u=0)

K_P	K_I
	0.05			0.40			1.00
	定理2 (N=1)	文献[17]	文献[14]	定理2 (N=1)	文献[17]	文献[14]	定理2 (N=1)	文献[17]	文献[14]
0	30.914	30.853	27.927	3.381	3.377	3.124	0.923	0.922	0.886
0.05	31.874	31.263	27.881	3.501	3.496	3.215	0.970	0.969	0.927
0.20	34.224	27.763	25.114	3.792	3.784	3.320	1.078	1.077	1.016
0.40	35.830	22.194	20.364	3.980	3.472	2.832	1.118	1.116	1.017
0.60	16.126	15.727	14.618	3.825	2.734	2.130	0.947	0.933	0.827
1.00	0.595	0.594	0.546	0.515	0.515	0.482	0.361	0.360	0.348

表4 K_P、K_I分别取不同值时的系统的时滞上界τ_max(u=0.5)

K_P	K_I
	0.05			0.40			1.00
	定理2(N=1)	文献[17]	文献[14]	定理2 (N=1)	文献[17]	文献[14]	定理2 (N=1)	文献[17]	文献[14]
0	29.689	27.324	26.374	3.236	2.962	2.854	0.852	0.743	0.674
0.05	30.647	27.240	26.054	3.353	3.068	2.960	0.899	0.785	0.715
0.20	32.844	22.524	21.384	3.625	3.212	2.956	0.997	0.853	0.783
0.40	33.700	14.868	14.108	3.726	2.578	2.176	0.990	0.768	0.696
0.60	3.249	5.574	4.693	3.203	1.090	1.029	0.726	0.554	0.502
1.00	0.508	0.435	0.408	0.448	0.390	0.365	0.329	0.300	0.280

从表3中可以看出，处于定常时滞(u=0)的情况下，当LFC系统中的控制增益参数K_P、K_I分别给定不同值时，应用本文新判据得出的仿真结果明显优于文献[14,17]中的结果，并且其计算值非常接近于系统最大允许时滞上界理论值，如图4所示。

图4

图4 不同时滞下的系统频率偏差(K_P=K_I=0.4，u=0)

从图4中可以看出，当τ=3.472 s时，经过LFC系统的二次调频使系统频率偏差快速收敛到0，这说明通过文献[14]中的稳定判据得到的系统仿真结果非常保守，而当τ=3.950 s时，系统频率偏差仍然呈收敛趋势，但是保守性得到了极大改善，当τ=4.050 s时，系统频率偏差呈发散状态，这意味着当K_P=K_I=0.4，u=0时，该系统的时滞稳定上界取值范围在3.950~4.050 s。然而，应用本文新判据获得的时滞稳定上界为3.980 s，这说明应用本文新判据获得的最大允许时滞上界非常接近于理论值，同时，也充分证明了本文新判据的正确性。事实上，当τ=3.980 s时，K_P=K_I=0.4，u=0时系统频率偏差如图5所示。

图5

图5 τ=3.980 s时的系统频率偏差(K_P=K_I=0.4，u=0)

另外，由表3、4还可以观察出，增益参数K_P、K_I的选取会对系统的最大允许时滞上界产生一定影响。当增益参数K_I一定时，系统时滞稳定上界随K_P的增大呈先增大后减小的趋势；而当增益参数K_P一定时，系统的最大允许时滞上界随着K_I的增大而减小。

综上所述，将本文定理2应用在典型二阶系统与含PID参数的LFC系统中，都能使系统的保守性得到极大改善，上述试验仿真结果充分验证了这一结论的正确性。

5 结论

为了分析系统矩阵中PID参数对时滞LFC系统稳定性的影响，本文以建立的时滞电力系统数学模型为基础，考虑了构建时滞乘积型Lyapunov-Krasovskii泛函、扩展的逆凸二次不等式方法，推导出一个时滞电力系统稳定新判据，通过试验仿真得到如下结论。

(1) 通过将新判据应用于两个典型二阶矩阵方程算例与一个LFC系统矩阵方程算例中，试验仿真结果验证了新判据的正确性以及在改善系统保守性方面与其他工作相比具有显著优势。

(2) 当系统处于定常时滞或时变时滞情况下，改变增益参数K_P、K_I的取值，系统的时滞稳定裕度与PI控制增益会呈现一定关系。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

钱伟, 吴嘉欣, 费树岷.

基于时滞依赖矩阵泛函的变时滞电力系统稳定性分析

[J]. 电力系统自动化, 2020, 44(1):53-58.

QIAN

Wei

, WU

Jiaxin

, FEI

Shumin

Analysis on power systems stability with time-dependent matrix functional

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2020, 44(1):53-58.

[2]

刘运花, 黎雄, 刘志雄, 等.

基于灰色预测的广域电力系统稳定器分布延时补偿设计

[J]. 电力系统自动化, 2015, 39(12):44-49.

LIU

Yunhua

, LI

Xiong

, LIU

Zhixiong

, et al.

A compensation design for wide-area power system stabilizer distributed time delay based on grey prediction

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(12):44-49.

[3]

徐冰亮, 曹世光, 于继来, 等.

基于需求侧管理的频率质量控制探讨

[J]. 电力系统自动化, 2003, 27(11):72-76.

Bingliang

, CAO

Shiguang

, YU

Jilai

, et al.

DSM based frequency quality control of power systems

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2003, 27(11):72-76.

[4]

刘云平, 王皖东, 梅平, 等.

多区域时滞电力系统稳定判据的优化

[J]. 控制理论与应用, 2018, 35(7):994-1001.

LIU

Yunping

, WANG

Wandong

, MEI

Ping

, et al.

Optimization of stability criterion for multi-area power system with time delay

[J]. Control Theory & Applications, 2018, 35(7):994-1001.

[5]

潘丽姣.

基于自由权矩阵的时变时延NCSs稳定性和鲁棒性分析

[J]. 计算机应用与软件, 2014, 31(3):126-130.

PAN

Lijiao

Stability and robust analysis for NCSs with time-varying delays based on free-weighting matrix

[J]. Computer Applications and Software, 2014, 31(3):126-130.

[6]

古丽扎提·海拉提, 王杰.

多时滞广域测量电力系统稳定分析与协调控制器设计

[J]. 电工技术学报, 2014, 29(2):279-289.

GULIZHATI·Hailati, WANG

Jie

Multiple time delays analysis and coordinated stability control for power system wide area measurement

[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(2):279-289.

[7]

Rongxin

, WEI

Hui

, BAI

Jianguo

New delay-dependent robust stability criteria for uncertain neutral systems with mixed delays

[J]. Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(3):1386-1399.

DOI:10.1016/j.jfranklin.2013.11.001 URL [本文引用: 2]

[8]

赵亚文, 丛屾.

广域电力系统动态稳定性分析的时滞系统方法

[J]. 黑龙江大学工程学报, 2021, 12(1):68-74.

ZHAO

Yawen

, CONG

Shen

Time-delay systems approach to stability analysis of wide area power systems

[J]. Journal of Engineering of Heilongjiang University, 2021, 12(1):68-74.

[9]

孙国强, 屠越, 孙永辉, 等.

时变时滞电力系统鲁棒稳定性的改进型判据

[J]. 电力系统自动化, 2015, 39(3):59-62.

SUN

Guoqiang

, TU

Yue

, SUN

Yonghui

, et al.

An improved robust stability criterion for power systems with time-varying delay

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2015, 39(3):59-62.

[10]

钱伟, 蒋鹏冲.

时滞电力系统带记忆反馈控制方法

[J]. 电网技术, 2017, 41(11):3605-3611.

QIAN

Wei

, JIANG

Pengchong

A method of memory feedback control for power system with time-delay

[J]. Power System Technology, 2017, 41(11):3605-3611.

[11]

孙永辉, 李宁, 卫志农, 等.

多时滞不确定电力系统的改进时滞依赖鲁棒稳定判据

[J]. 电力系统自动化, 2017, 41(16):117-122.

SUN

Yonghui

, LI

Ning

, WEI

Zhinong

, et al.

Improved robust delay-dependent stability criteria for power systems with multiple time delays and uncertain parameters

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2017, 41(16):117-122.

[12]

JIANG

Ling

, YAO

Wei

, WU

Qinghua

, et al.

Delay-dependent stability for load frequency control with constant and time-varying delays

[J]. IEEE Transactions on Power Systems, 2012, 27(2):932-941.

DOI:10.1109/TPWRS.2011.2172821 URL [本文引用: 1]

[13]

ZENG

Hongbing

, LIN

Huichao

, HE

Yong

, et al.

Hierarchical stability conditions for time-varying delay systems via an extended reciprocally convex quadratic inequality

[J]. Journal of the Franklin Institute, 2020, 357(14):9930-9941.

DOI:10.1016/j.jfranklin.2020.07.034 URL [本文引用: 3]

[14]

张传科.

时滞电力系统的小扰动稳定分析与负荷频率控制[D]. 长沙: 中南大学, 2013.

[本文引用: 12]

ZHANG

Chuanke

Small-signal stability analysis and load frequency control for delayed power systems[D]. Changsha: Central South University, 2013.

[本文引用: 12]

[15]

钱伟, 蒋鹏冲, 车凯.

基于Wirtinger不等式的时变时滞电力系统稳定性分析

[J]. 电力系统保护与控制, 2016, 44(23):79-85.

[本文引用: 2]

QIAN

Wei

, JIANG

Pengchong

, CHE

Kai

Stability analysis for power system with time-delay based on Wirtinger inequality

[J]. Power System Protection and Control, 2016, 44(23):79-85.

[本文引用: 2]

[16]

贾宏杰, 安海云, 余晓丹.

电力系统改进时滞依赖型稳定判据

[J]. 电力系统自动化, 2008, 32(19):15-19.

JIA

Hongjie

, AN

Haiyun

, YU

Xiaodan

An improved delay-dependent stability criteria for power system with multiple time delays

[J]. Automation of Electric Power Systems, 2008, 32(19):15-19.

[17]

曾红兵, 刘晓桂, 肖会芹, 等.

基于PID负荷频率控制的电力系统时滞相关鲁棒稳定性分析

[J]. 电测与仪表, 2019, 56(23):120-126.

[本文引用: 9]

ZENG

Hongbing

, LIU

Xiaogui

, XIAO

Huiqin

, et al.

Delay-dependent robust stability of power system with PID load frequency control

[J]. Electrical Measurement & Instrumentation, 2019, 56(23):120-126.

[本文引用: 9]

[18]

ZENG

Hongbing

, HE

Yong

, WU

Min

, et al.

New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay

[J]. Automatica, 2015, 60 (10):189-192.

DOI:10.1016/j.automatica.2015.07.017 URL [本文引用: 1]

[19]

TAN

Wen

Unified tuning of PID load frequency controller for power systems via IMC

[J]. IEEE Transactions on Power System, 2010, 25(1):341-350.

DOI:10.1109/TPWRS.2009.2036463 URL [本文引用: 1]

[20]

曾树华, 刘晓桂, 魏丽君.

基于改进型Bessel-Legendre不等式的电力系统时滞相关鲁棒稳定性研究

[J]. 数学的实践与认识, 2021, 51(6):177-187.

ZENG

Shuhua

, LIU

Xiaogui

, WEI

Lijun

Delay-dependent robust stability of power systems based on improved Bessel-Legendre inequality

[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2021, 51(6):177-187.