多绕组变压器复合短路阻抗与环流计算*

doi:10.11985/2023.04.028

多绕组变压器复合短路阻抗与环流计算^*

李世军^,¹, 黄超^,¹, 夏湘滨², 杨佳意³, 邝孝威¹, 张彬¹, 陈懿媛⁴, 郭盈⁴

1.湖南工程学院电气与信息工程学院湘潭 411101

2.湖南华夏特变股份有限公司湘潭 411101

3.邵阳学院电气工程学院邵阳 422004

4.湖南德意电气有限公司湘潭 411101

Calculation of Composite Short-circuit Impedance and Circulating Current of Multi-winding Transformer

LI Shijun^,¹, HUANG Chao^,¹, XIA Xiangbin², YANG Jiayi³, KUANG Xiaowei¹, ZHANG Bin¹, CHEN Yiyuan⁴, GUO Ying⁴

1. College of Electrical & Information Engineering,Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101

2. XiangTan HuaXia Special Transformer Co., Ltd., Xiangtan 411101

3. School of Electrical Engineering, Shaoyang University, Shaoyang 422004

4. Hunan Deyi Electric Co., Ltd., Xiangtan 411101

收稿日期: 2022-12-25 修回日期: 2023-05-14

基金资助:

*湖南省教育厅科学研究(22B0740)
湖南省教育厅科学研究(22B0743)
湘潭市揭榜挂帅(CG-ZDGS20231002)
湖南省自然科学基金(2022JJ50122)
湖南省企业科技特派员(2021GK5042)
湖南工程学院人才科研基金(20RC002)
湘潭市企业科技特派专家(CG-TPZJ20221019)

Received: 2022-12-25 Revised: 2023-05-14

作者简介 About authors

李世军，男，1982年生，博士，副教授，硕士研究生导师。主要从事新型变压器、高压直流输电方面研究。E-mail：13538878@qq.com

黄超，男，2000年生，硕士研究生。主要从事变压器理论与技术、电力电子技术方面研究。E-mail：568845469@qq.com

摘要

为解决多绕组变压器建模复杂、复合短路阻抗和环流计算困难以及计算时间长的问题，提出一种基于简化变压器有限元模型的计算方法。该方法可以快速准确地计算多绕组变压器的复合短路阻抗和相应的短路环流。首先建立了简化的变压器有限元模型，并获得了绕组的电感矩阵。然后，将相关数据输入计算软件中进行计算，以得到多绕组变压器的复合短路阻抗和对应的短路环流。为了验证该计算方法的准确性，进行了实例验证。结果表明，该方法计算精度高并且耗时较少。通过使用这种基于简化变压器有限元模型的计算方法，可以有效地解决多绕组变压器的复合短路阻抗和环流计算中的困难，这不仅提高了计算效率，还能提供准确的计算结果，具有较好的工程应用价值。

关键词： 多绕组变压器; 复合短路阻抗; 短路环流; 有限元模型

Abstract

In order to solve the problems of complex modeling of multi-winding transformer, difficult calculation of composite short-circuit impedance and circulating current, and long calculation time, a calculation method based on simplified transformer finite element model is proposed. This method can quickly and accurately calculate the composite short-circuit impedance and the corresponding short-circuit circulating current of the multi-winding transformer. Firstly, a simplified finite element model of the transformer is established, and the inductance matrix of the winding is obtained. Then, the relevant data are input into the calculation software for calculation to obtain the composite short-circuit impedance and the corresponding short-circuit circulation of the multi-winding transformer. In order to verify the accuracy of the calculation method, an example is verified. The results show that the method has high calculation accuracy and less time-consuming. By using this calculation method based on the simplified finite element model of the transformer, the difficulties in the calculation of the composite short-circuit impedance and circulating current of the multi-winding transformer can be effectively solved, which not only improves the calculation efficiency, but also provides accurate calculation results and has good engineering application value.

Keywords： Multi-winding transformers; composite short-circuit impedance; short-circuit circulating current; finite element model

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本文引用格式

李世军, 黄超, 夏湘滨, 杨佳意, 邝孝威, 张彬, 陈懿媛, 郭盈. 多绕组变压器复合短路阻抗与环流计算^*[J]. 电气工程学报, 2023, 18(4): 260-267 doi:10.11985/2023.04.028

LI Shijun, HUANG Chao, XIA Xiangbin, YANG Jiayi, KUANG Xiaowei, ZHANG Bin, CHEN Yiyuan, GUO Ying. Calculation of Composite Short-circuit Impedance and Circulating Current of Multi-winding Transformer[J]. Chinese Journal of Electrical Engineering, 2023, 18(4): 260-267 doi:10.11985/2023.04.028

1 引言

多绕组变压器能够在电力工程领域应用广泛^{[1⇓⇓⇓-5]}，得益于它独特的优势和特点。因为它有多绕组且容量大，所以能输出多数值电压，能较大程度节约设备成本、减小占地面积和空间。但是它给变压器的设计和制造也带来了一些技术难题，主要体现在复合短路阻抗计算以及复杂的环流计算，特别是针对多对一和多对多绕组的情况。

常用的复合短路阻抗计算方法有直接计算法、能量法以及场路耦合法等，这些方法各自都有各自的优缺点。① 直接计算法。文献[6]针对某一种多绕组变压器，提出了漏磁路计算方法，但是此方法的应用范围不宽，难以达到广泛通用性。② 能量法。文献[7]先根据磁场能量计算两两绕组短路时的短路阻抗，然后通过矩阵变换计算出变压器的复合短路阻抗，这种方法在求解多个单对单绕组的短路阻抗时，要在有限元软件中进行多次计算，所以增加了求解难度。③ 场路耦合法。在建立变压器模型阶段，需要输入铁心饱和曲线，由于变压器铁心B-H曲线的非线性，使得单次场路计算时间很长；需要每次设定不同的短路工况，来求解某一绕组或某些绕组的复合短路阻抗，总体的工作量与工作时间很长^[8⇓-10]。

短路环流计算方面也主要采用场路耦合法，同样是求解时间较长，不同的短路工况下，无法一次求解出所有短路工况下的复合短路阻抗^[11-12]。

本文设计了一种基于多绕组变压器简化有限元模型的计算方法，将多绕组变压器进行归类，只要在简化变压器磁场有限元模型得出的电感矩阵基础上，通过输入多绕组变压器的匝数、容量、额定电压参数等，就可以在软件中计算出多绕组变压器的复合短路阻抗及其短路情况下各绕组的电流环流。计算软件基于Matlab GUI实现，只需要安装个别插件就可以在多种操作系统中运行，具有良好的兼容性；计算方法和软件实用方便，界面操作简单，利于变压器设计人员计算使用。

2 简化变压器磁场有限元模型的复合阻抗及环流计算方法

通过有限元仿真软件可以建立简化的变压器磁场有限元模型，并通过简化的磁场有限元模型推导多绕组变压器两两绕组的短路阻抗。其方法如下：① 将多绕组多匝数变压器简化为多绕组单匝数变压器有限元模型，即把多匝数的绕组看成单匝绕组，建立三维有限元模型；② 通过简化磁场模型得到两两绕组短路阻抗，计算变压器导纳矩阵；③ 根据导纳矩阵与短路工况，计算复合短路阻抗与短路环流。

2.1 简化变压器磁场计算两两短路阻抗

假设原变压器模型的i号线圈匝数为N_i，电流为I_i。首先建立多绕组变压器简化磁场有限元模型，将原来的多匝线圈按照单匝线圈处理，相应的电流由I_i变为NI_i，很容易得到单匝线圈的变压器绕组电感矩阵M为

M = [\begin{array}{l} l_{11} l_{12} \dots l_{1 n} \\ l_{21} l_{22} \dots l_{2 n} \\ ⋮ ⋱ ⋮ \\ l_{n 1} l_{n 2} \dots l_{n n} \end{array}]

式中，l_ii为简化的单匝线圈自感；l_ij为单匝线圈互感。

当i、j号绕组短路处于短路情况时，可根据电感的定义得知

(1)

\{\begin{cases} l_{i i} = ψ_{i i} / i_{i} \\ l_{j j} = ψ_{j j} / i_{j} \end{cases}

式中，ψ_ii为单匝电感与本身交链的磁链，而在非简化的多匝线圈情况下，当多绕组发生交链时

(2)

\{\begin{cases} L_{i} = N_{i} ψ_{i i} / I_{i} \\ L_{j} = N_{j} ψ_{j j} / I_{j} \end{cases}

(3)

\{\begin{cases} i_{i} = N_{i} I_{i} \\ i_{j} = N_{j} I_{j} \end{cases}

联立式(1)~(3)可得

(4)

\{\begin{cases} L_{i} = N_{i}^{2} l_{i i} \\ L_{j} = N_{j}^{2} l_{j j} \end{cases}

同理可得

(5)

\{\begin{cases} M_{j i} = N_{i}^{2} m_{j i} \\ M_{i j} = N_{j}^{2} m_{i j} \end{cases}

由短路阻抗的定义可知

(6)

X_{k i j} = j ω (L_{i σ} + L_{j σ} N_{i}^{2} / N_{j}^{2})

\begin{array}{l} L_{i σ} = L_{i} - M_{j i} \\ L_{j σ} = L_{i} - M_{i j} \end{array}

将式(4)和式(5)代入式(6)可知

(7)

X_{k i j} = j ω N_{i}^{2} (l_{i i} + l_{j j} - 2 m_{i j})

又由于变压器绕组的电阻很小，可以忽略不计，可得

(8)

Z_{k i j} = X_{k i j} = j ω N_{i}^{2} (l_{i i} + l_{j j} - 2 m_{i j})

这样就可以通过简化的变压器有限元模型，求解两两绕组的短路阻抗^{[13⇓⇓⇓-17]}。

2.2 求解变压器导纳矩阵

多绕组变压器绕组排布如图1所示。

图1

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图1 多绕组变压器绕组排布

其中，绕组1~m为并联高压绕组，m+1至n为独立的低压绕组，有不同的电压等级；各绕组匝数分别为N₁，N₂，…，N_n。

由文献[12]可得

(9)

X_{k i j} = X_{i i} - \frac{N_{i}}{N_{j}} X_{i j} - \frac{N_{i}}{N_{j}} X_{j i} + {(\frac{N_{i}}{N_{j}})}^{2} X_{j j}

多绕组变压器电压平衡方程为

(10)

[\begin{array}{l} {\dot{U}}_{1} \\ {\dot{U}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{U}}_{n} \end{array}] = [\begin{array}{l} {\dot{E}}_{1} \\ {\dot{E}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{E}}_{n} \end{array}] + j [\begin{array}{l} {\dot{I}}_{1} X_{11} + j {\dot{I}}_{2} X_{12} + \dots + j {\dot{I}}_{n} X_{1 n} \\ {\dot{I}}_{1} X_{21} + j {\dot{I}}_{2} X_{22} + \dots + j {\dot{I}}_{n} X_{2 n} \\ ⋮ \\ {\dot{I}}_{1} X_{n 1} + j {\dot{I}}_{2} X_{n 2} + \dots + j {\dot{I}}_{n} X_{n n} \end{array}]

式中，当i=j时， $X_{σ i j}$ 为绕组的自漏电抗；i≠j时为i、j两绕组间互感漏电抗。又知

(11)

{\dot{E}}_{i} / {\dot{E}}_{n} = N_{i} / N_{n}

(12)

\sum_{i = 1}^{n} I_{i} N_{i} = 0

将式(11)、(12)代入式(10)并进行变换可得

(13)

[\begin{matrix} {\dot{U}}_{1} - \frac{N_{1}}{N_{n}} {\dot{U}}_{n} \\ {\dot{U}}_{2} - \frac{N_{2}}{N_{n}} {\dot{U}}_{n} \\ ⋮ \\ {\dot{U}}_{n - 1} - \frac{N_{n - 1}}{N_{n}} {\dot{U}}_{n} \end{matrix}] = j [\begin{matrix} {X^{'}}_{11} & {X^{'}}_{12} & \dots & {X^{'}}_{1 n} \\ {X^{'}}_{21} & {X^{'}}_{22} & \dots & {X^{'}}_{2 n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {X^{'}}_{n - 1, 1} & {X^{'}}_{n - 1, 2} & \dots & {X^{'}}_{n - 1, n - 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{I}}_{1} \\ {\dot{I}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{I}}_{n - 1} \end{matrix}]

(14)

{X^{'}}_{i j} = X_{i j} - \frac{N_{i}}{N_{j}} X_{n j} + \frac{N_{j}}{N_{i}} X_{i n} - \frac{N_{i} N_{j}}{N_{n}^{2}} X_{n n}

将式(9)、(14)联立解得

(15)

\{\begin{cases} {X^{'}}_{i i} = X_{k i n} \\ {X^{'}}_{i j} = {X^{'}}_{j i} = \frac{1}{2} (\frac{N_{j}}{N_{i}} X_{k i n} + \frac{N_{i}}{N_{j}} X_{k j n} - \frac{N_{j}}{N_{i}} X_{k i j}) \end{cases}

对式(11)进行逆矩阵变换，联立式(12)可解得

(16)

[\begin{matrix} {\dot{I}}_{1} \\ {\dot{I}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{I}}_{n - 1} \\ {\dot{I}}_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{11} & y_{12} & \dots & y_{1, n - 1} & y_{1 n} \\ y_{21} & y_{22} & \dots & y_{2, n - 1} & y_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ y_{n - 1, 1} & y_{n - 1, 2} & \dots & y_{n - 1, n - 1} & y_{n - 1, n} \\ y_{n, 1} & y_{n, 2} & \dots & y_{n, n - 1} & y_{n, n} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\dot{U}}_{1} \\ {\dot{U}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{U}}_{n - 1} \\ {\dot{U}}_{n} \end{matrix}]

[\begin{matrix} y_{11} & y_{12} & \dots & y_{1, n - 1} & y_{1 n} \\ y_{21} & y_{22} & \dots & y_{2, n - 1} & y_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ y_{n - 1, 1} & y_{n - 1, 2} & \dots & y_{n - 1, n - 1} & y_{n - 1, n} \\ y_{n, 1} & y_{n, 2} & \dots & y_{n, n - 1} & y_{n, n} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} {X^{'}}_{11} & {X^{'}}_{12} & \dots & {X^{'}}_{1 n} \\ {X^{'}}_{21} & {X^{'}}_{22} & \dots & {X^{'}}_{2 n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {X^{'}}_{n - 11} & {X^{'}}_{n - 12} & \dots & {X^{'}}_{n - 1 n - 1} \end{matrix}]}^{- 1}

\{\begin{array}{l} y_{i n} = y_{n i} = - \frac{1}{N_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} N_{k} y_{i k} \\ y_{n n} = \frac{1}{N_{n}^{2}} \sum_{l = 1}^{n - 1} N_{l} \sum_{k = 1}^{n - 1} N_{k} y_{l k} \end{array}

2.3 根据短路工况求解复合短路阻抗与短路环流

多绕组变压器大多采用高压并联供电，低压输电的模式^{[18⇓⇓-21]}。在这种情况下，如绕组编号为i的低压绕组发生短路故障，则其满足短路工作状况的边界条件为：① 各高压绕组电压相等；② 各低压绕组电压为0；③ 短路绕组i电流为额定电流；④ 除i号绕组外，其余低压绕组电流为0。结合短路工况与式(15)，可解得在此工况下的复合短路阻抗与各绕组短路电流

(17)

\{\begin{cases} Z_{k} = U_{k} / U_{N} = \frac{I_{i}}{U_{N} \sum_{j = 1}^{m} Y_{i j}} \\ I_{1} = U_{k} \sum_{j = 1}^{m} Y_{1 j} \\ I_{2} = U_{k} \sum_{j = 1}^{m} Y_{2 j} \\ ⋮ \\ I_{m} = U_{k} \sum_{j = 1}^{m} Y_{m j} \\ I_{m + 1} = I_{m + 2} = \dots = I_{i - 1} = I_{i + 1} = \dots = I_{n} = 0 \end{cases}

另外还有两种情况：① 高压绕组开路，低压绕组供电；② 高压绕组并联，各低压绕组同时都短路，一个或者多个其他绕组同时短路的情况，均可以列写相应的短路端口条件，代入式(17)求得相应的复合短路阻抗与短路环流^[13,17]。

3 复合短路阻抗及环流计算软件与计算实例

根据第2节的推导，可以得到简化变压器电感矩阵与原变压器两两短路阻抗的关系。通过一系列的矩阵变换与计算，结合各种短路工况下的端口条件，就可以计算多绕组变压器复合短路阻抗及短路环流。中间的算法很复杂，本文通过Matlab GUI界面开发程序，编制软件来实现相关的计算。

3.1 软件计算流程

按照第2节的计算公式，可以得到软件计算流程，如图2所示。软件流程如下：① 通过电感矩阵与绕组数据，计算变压器的导纳矩阵；② 通过供电和短路绕组编号，判断短路工况，得出短路下的端口条件；③ 结合导纳矩阵与端口条件，计算变压器复合短路阻抗与短路环流；④ 输出数据。

图2

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图2 软件流程图

3.2 输入输出数据及软件界面

输入输出数据位于软件设计的最上层，其中需要输入的数据如下：绕组个数、绕组编号、绕组匝数、额定电压、绕组容量以及单匝线圈的电感矩阵。其中电感矩阵只需要按照提供的模板进行导入，使得数据提取更加方便快捷。编制的软件界面如图3所示。

图3

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图3 软件界面图

多绕组变压器可能存在多种低压，当需要计算的多绕组变压器只存在某一种或几种低压的情况时，需要在剩余的低压绕组个数上填0；计算多个绕组短路工况下的短路阻抗时，只需要输入多个短路绕组的编号，用空格或者逗号隔开，就可以进行相应的计算。填写相关的数据之后，点击“添加电感矩阵并计算”按钮，就可以得到复合短路阻抗与列表形式的各绕组电流。

3.3 实例验证

选取某一8绕组变压器作为验证对象，其主变压器参数如表1所示。

表1 变压器参数

参数	高压绕组	低压绕组
额定容量/(kV·A)	5 280	4×1 320
额定电压/V	25 000	4×970
额定电流/A	211	1 361
最大电流/A	235	1 512
短路阻抗(%)	37	35
匝数	1 907	74

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其中有4个绕组为并联的高压绕组，另外4个绕组为独立的低压绕组。对多绕组变压器复合短路阻抗与环流计算方法进行验证。首先在有限元仿真软件中建立这一多绕组变压器的简化磁场模型，如图4所示，得到简化单匝电感矩阵m，并计算其电感矩阵M如下

M = [\begin{array}{l} 201.65 197.46 193.16 194.37 7.814 0 7.661 5 7.492 2 7.536 4 \\ 197.46 201.20 194.48 193.18 7.661 4 7.796 6 7.541 7 7.492 6 \\ 193.16 194.48 201.11 197.47 7.492 3 7.541 2 7.793 3 7.661 7 \\ 194.37 193.18 197.47 201.56 7.536 7 7.492 8 7.660 9 7.811 3 \\ 7.814 0 7.661 4 7.492 3 7.536 7 0. 303 61 0. 297 30 0. 290 60 0. 292 24 \\ 7.661 5 7.796 6 7.541 2 7.492 8 0. 297 30 0. 302 94 0. 292 44 0. 290 61 \\ 7.492 2 7.541 7 7.793 3 7.660 9 0. 290 60 0. 292 44 0. 302 81 0. 297 27 \\ 7.536 4 7.492 6 7.661 7 7.811 3 0. 292 24 0. 290 61 0. 297 27 0. 303 54 \end{array}]

图4

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图4 多绕组变压器的简化磁场模型图

再将电感矩阵、变压器基本参数、短路绕组编号作为输入数据导入计算软件；最后得到多绕组变压器的复合短路阻抗与短路环流，如表2所示。

表2 复合短路阻抗和短路环流的计算值与实际测量值以及误差

	短路电流/A								短路阻抗(%)		误差(%)
	H1	H2	H3	H4	L1	L2	L3	L4	计算值	实测值	误差(%)
H-L1	-157.47	438.48	-94.16	-87.85	-1 167.12	0	0	0	35.53	36.62	3.06
H-L2	-101.82	372.76	-83.1	-88.84	0	-1 167.12	0	0	35.64	36.7	2.97
H-L3	-94.16	-87.85	-157.47	438.48	0	0	-1 167.12	0	35.53	36.05	1.46
H-L4	-83.1	-88.84	-101.82	372.76	0	0	0	-1 167.12	35.64	36.25	1.71
H-L	-436.3	634.3	-436.31	634.3	-1 162.76	-1 171.47	-1 162.77	-1 171.47	36.56	37.52	2.62
L1-L2	0	0	0	0	1 166.9	-1 166.9	0	0	77.19	78.45	1.63
L1-L3	0	0	0	0	1 166.9	0	-1 166.9	0	76.43	77.16	0.94
L1-L4	0	0	0	0	1 166.9	0	0	-1 166.9	76.10	77.98	2.47
L2-L3	0	0	0	0	0	1166.9	-1 166.9	0	76.10	77.86	2.31
L2-L4	0	0	0	0	0	1 166.9	0	-1 166.9	77.19	76.95	-0.69
L3-L4	0	0	0	0	0	0	1166.9	-1 166.9	77.19	78.12	1.20

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由表2可知：① 采用简化变压器磁场有限元模型计算得到的变压器复合短路阻抗计算值与实测值之间的误差，没有超过工程需求的5%，满足工程要求的误差范围；② 不同短路工况情况下，存在不同的短路环流，当变压器高压绕组对某一低压绕组短路时，各高压绕组内的电流是不同的，这主要是由绕组排布不同导致的耦合度不同造成的。

由于实测的多绕组变压器只存在高压与低压两种电压等级，此时只需要中压绕组个数为0，软件可自动识别为无中压绕组。当高压绕组并非串联情况时，可对某一或某多个高压绕组施加电压，填写至“供电绕组编号”框内，即可完成计算。

根据文献[8]中提出的场路耦合计算方法，以及文献[7]中提出的数学计算方法，得到复合短路阻抗与短路环流计算结果如表3所示。由表3可知，场路耦合计算方法、数学计算方法与本文所提方法计算结果基本一致，由此验证了本文计算方法的正确性，但文献[8]中场路耦合计算需要结合铁心B-H曲线进行非线性计算，总体计算时间冗长。文献[7]中数学计算方法需要计算两两绕组的短路阻抗，并利用短路阻抗矩阵进行矩阵转换来得到计算结果，计算过程较为复杂，可由矩阵计算软件编制计算程序完成。

表3 三种计算方法的短路环流计算值对比 A

计算方法		H1	H2	H3	H4	L1	L2
H-L1	本文方法	-51.53	-1.88	0.12	-0.32	1 360	0
	场路耦合方法	-52.42	-2.21	1.01	-0.83	1 361	0
	数学计算方法	-51.04	-1.80	0.06	-0.26	1 360	0
L1-L2	本文方法	49.63	-49.33	-0.63	0.46	-1 363	1 361
	场路耦合方法	50.89	-51.00	-2.17	1.92	-1 364.0	1 361
	数学计算方法	49.42	-49.24	-0.480	0.35	-1 361.5	1 361

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4 结论

本文依据多绕组变压器简化有限元模型，提出一种复合短路阻抗与环流计算方法。

(1) 利用Matlab GUI程序，开发一套适合于多种多绕组变压器复合短路阻抗与环流计算的实用软件。

(2) 对容易获得的电感矩阵进行后台导入，计算过程全程由计算机完成，计算过程灵活、简单、高效。对某一8绕组变压器进行了计算，得出了准确的计算值。

实测与计算表明，此方法可以用于复合短路阻抗及环流计算且计算精度高，能够达到并满足工程设计的要求，可以方便快捷地应用于多绕组变压器电磁参数的优化设计。

参考文献

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被引期刊影响因子

[1]

孙歌, 陈志亮, 张捷, 等.

多绕组变压器串联运行的特殊方式分析

[J]. 机电信息, 2023(9):1-4.