磁集成变换器耦合电感电流纹波研究*

图1 耦合电感模型

绕组两端点电压分别为 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ ，根据耦合电感的特性有如下表达式

(1)

\{\begin{matrix} u_{1} = L_{1} \frac{d i_{1}}{d t} + M \frac{d i_{2}}{d t} \\ u_{2} = M \frac{d i_{1}}{d t} + L_{2} \frac{d i_{2}}{d t} \end{matrix}

由式(1)可得

(2)

[\begin{array}{l} \frac{d i_{1}}{d t} \\ \frac{d i_{2}}{d t} \end{array}] = \frac{1}{L_{1} L_{2} - M^{2}} [\begin{matrix} \begin{array}{l} L_{2} \\ - M \end{array} & \begin{array}{l} - M \\ L_{1} \end{array} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}]

设耦合系数为k，则 $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$ ，代入式(2)得

(3)

\frac{d i_{1}}{d t} = \frac{L_{2} u_{1} - k \sqrt{L_{1} L_{2}} u_{2}}{(1 - k^{2}) L_{1} L_{2}}

(4)

\frac{d i_{2}}{d t} = \frac{- k \sqrt{L_{1} L_{2}} u_{1} + L_{1} u_{2}}{(1 - k^{2}) L_{1} L_{2}}

3 电感电流纹波分析

3.1 影响电流纹波因素分析

由于耦合电感绕组施加不同频率电压会导致高频电感耦合低频电压，低频电感耦合高频电压，从而使高低频电感无法以正常的方式工作，因此需要 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 具有相同的变化周期T^[13⇓-15]。在电力电子变换器中，施加在耦合电感两端的电压主要是方波电压，如图2所示波形是具有普遍意义的方波电压，D_i_,_i=1, 2为占空比， $τ$ 为相位系数，定义 $τ > 0$ 为 $u_{2}$ 滞后 $u_{1}$ 。图2中， ${i^{'}}_{1}^{}$ 和 ${i^{'}}_{2}^{}$ 为电感非耦合k=0时流过电感L₁和L₂的电流^[16]； $i_{1}^{}$ 和 $i_{2}^{}$ 为电感耦合k≠0时流过电感L₁和L₂的电流； $Δ i_{2}^{}$ 和 $Δ {i^{'}}_{2}^{}$ 分别为绕组电压变化时k=0与k≠0情况下L₂的电流变化量； $Δ i_{2 p}^{}$ 和 $Δ {i^{'}}_{2 p}^{}$ 分别为绕组电压变化时k≠0与k=0情况下L₂的电流纹波峰-峰值。设 $Δ i_{2}^{} = ε_{i - j}^{(2)} (t) Δ {i^{'}}_{2}^{}$ ，即i-j时间段流过L₂的电流变化量为耦合前的 $ε_{i - j}^{(2)} (t)$ 倍，本文称 $ε_{i - j}^{} (t)$ 为电流变化倍数，当 $ε_{i - j}^{} (t) > 0$ 时，耦合前后电流变化规律相同，当 $ε_{i - j}^{} (t) < 0$ 时，耦合前后电流变化规律相反。设 $Δ i_{2 p}^{} = γ_{2} Δ {i^{'}}_{2 p}^{}$ ，本文称 $γ_{2}$ 为电感L₂电流纹波变化倍数， $γ_{2}$ 的正负表示耦合前后纹波规律变化的相同或相反，当 $γ_{2} = 0$ 时，表示实现了零纹波^[17]。

图2

图2 电感电流变化量

由于耦合电感结构对称，下文以电感L₂纹波进行分析。非耦合时电感L₂有如下表达式

(5)

\frac{d {i^{'}}_{2}^{}}{d t} = \frac{u_{2}}{L_{2}}

电感耦合后，当绕组电压发生变化时，根据式(4)和式(5)可得

(6)

\frac{- k \sqrt{L_{1} L_{2}} u_{1} + L_{1} u_{2}}{(1 - k^{2}) L_{1} L_{2}} = ε_{i - j}^{(2)} (t) \frac{u_{2}}{L_{2}}

由图1可见，L₁、L₂的耦合方式由电流的方向确定，当利用耦合系数k的正负表示耦合方式时，式(6)可表示为

(7)

\frac{|u_{1}|}{|u_{2}|} = \frac{ε_{i - j}^{(2)} (t) k^{2} - ε_{i - j}^{(2)} (t) + 1}{k} \sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}

设绕组电压比 $|u_{1}|$ / $|u_{2}|$ $= a (t) > 0$ ，耦合电感自感比 $L_{1} / L_{2} = β$ ，由式(7)可得

(8)

ε_{i - j}^{(2)} (t) = \frac{\sqrt{β} - k \cdot α (t)}{\sqrt{β} (1 - k^{2})}

令

(9)

λ (t) = \frac{ε_{i - j}^{(2)} (t) k^{2} - ε_{i - j}^{(2)} (t) + 1}{k}

(10)

α (t) = \sqrt{β} λ (t)

影响电感电流纹波因素有绕组电压比 $α (t)$ 、耦合电感自感比 $β$ 和耦合度k三个参数^[18]。对于已确定的变换器拓扑，采用某种控制方式使 $α (t)$ 为一固定函数时，设计者可以合理地设计自感比 $β$ 和耦合度k的值来控制 $ε_{i - j} (t)$ ，从而控制电流纹波的大小；而设计者在构造设计新的拓扑电路时，可以考虑如何控制绕组上施加的电压来控制各时间段的 $ε_{i - j} (t)$ ，同时合理设计 $β$ 和k的值来控制电流纹波的大小^[19-20]。

3.2 参数限制条件

由式(10)可得

(11)

L_{1} = \frac{{[α (t)]}^{2}}{{[λ (t)]}^{2}} L_{2}

代入互感表达式得

(12)

M = k \sqrt{L_{1} L_{2}} = k \frac{|α (t)|}{|λ (t)|} L_{2}

对于耦合电感，始终存在互感小于等于最大实际自感，即 $|M| \leq \max (L_{1}, L_{2})$ ，由式(12)可得

(13)

α (t) \leq \frac{\max (L_{1}, L_{2})}{L_{2}} |ε_{i - j}^{(2)} (t) + \frac{1 - ε_{i - j}^{(2)} (t)}{k^{2}}|

由式(13)可知，构造新拓扑电路时，绕组电压比 $α (t)$ 的控制还要满足实际耦合电感特性。

由式(3)和式(4)可得

(14)

Δ i_{1} = \frac{α (t) - k \sqrt{β}}{β - k \sqrt{β} α (t)} Δ i_{2}

式(14)表明， $α (t)$ 、 $β$ 和k三个参数还要满足如下表达式 $β - k \sqrt{β} α (t) \neq 0$ ，即

(15)

k α (t) \neq \sqrt{β}

3.3 $α (t)$ 为常数的情况分析

$α (t)$ 在整个周期内为常数 $α$ ，即

(16)

\frac{|u_{1 \max}|}{|u_{2 \max}|} = \frac{|u_{1 \min}|}{|u_{2 \min}|} = α

或

(17)

\frac{|u_{1 \max}|}{|u_{2 \min}|} = \frac{|u_{1 \min}|}{|u_{2 \max}|} = α

耦合电感各绕组施加电压及耦合前后绕组 $N_{2}$ 电流波形如图3所示。此时 $β = 0$ ， $D_{1} = D_{2}$ ，由式(8)~(10)可知， $ε_{_{i - j}}^{(2)} (t)$ 为常数，记为 $ε$ ， $λ (t)$ 为常数，记为 $λ$ 。由图3可知，此种情况下，耦合电感L₂的电流纹波就是[t₀~t₁]或[t₁~t₂]时段的电流变化量，即 $Δ i_{2 p}^{} = Δ i_{2}^{}$ ，此时电感L₂电流纹波变化倍数 $γ_{2} = ε$ 。

图3

图3 $ε_{i - j} (t)$ 为常数情况

为了下文分析说明清晰，将式(9)的 $λ$ 用曲线的形式描述，如图4~6所示。

图4

图4 $- 1 \leq ε \leq 1$ 时的 $λ$ 变化

图5

图5 正向耦合α、β、k与ε关系

图6

图6 $ε < - 1$ 与 $ε > 1$ 时 $λ$ 的变化

3.3.1 纹波倍数 $|γ_{2}| \leq 1$ 实现条件

$|γ_{2}| \leq 1$ 即 $- 1 \leq ε \leq 1$ ，表示耦合电感L₂内的电流纹波不大于非耦合时的纹波。下面分析实现 $|γ_{2}| \leq 1$ 的耦合方式和绕组电压比 $α$ 、自感比 $β$ 及耦合度k应满足的条件。

(1) 耦合方式。由图4可知，在正向耦合 $0 < k < 1$ 时，对于任意的 $- 1 \leq ε \leq 1$ ，总存在 $λ > 0$ ，根据式(10)得绕组电压比 $α > 0$ ，满足正向耦合绕组端部电压要求；而在反向耦合 $- 1 < k < 0$ 时，对于任意的 $- 1 \leq ε \leq 1$ ，总存在 $λ < 0$ ，根据式(10)得绕组电压比 $α < 0$ ，不满足反向耦合绕组端部电压要求。上述分析表明实现电流纹波 $|γ_{2}| \leq 1$ 只能通过正向耦合实现，而无法通过反向耦合实现。

(2) 设计实现。利用式(8)得到 $|γ_{2}| \leq 1$ 情况下 $ε$ 即 $γ_{2}$ 与 $α$ 、 $β$ 和k三个参数的函数曲面图形，如图5所示。

由图5可知，在正向耦合的情况下，合理设计 $α$ 、 $β$ 和k三个参数可以实现 $|γ_{2}| \leq 1$ ，并能够控制实现电感耦合前后电流变化规律相同或相反。设计方法如下：图5中，根据纹波倍数 $|γ_{2}|$ 设计需要，绘制平面 $ε = γ_{2}$ ，如图5中虚线所示平面，该平面与各耦合度曲面相交获得一组曲线，根据 $α$ 值选取合适的 $β$ 和k的大小或根据 $β$ 值选取合适的 $α$ 和k的大小。

(3) 参考规律。 $ε$ 与 $α$ 、 $β$ 和k的变化规律如下所述。

1) 如图5a所示，在耦合前后电流变化规律相同情况下，对于已经设计好的耦合电感 $β$ 和k已知，在正向耦合时，随着绕组电压比 $|α|$ 增大，电流纹波倍数都正向减小， $ε$ 由1→0，在某一数值，电流纹波为零；对于确定的变换器拓扑 $α$ 已知，在正向耦合时，随着耦合电感自感比 $β$ 增大，电流纹波倍数都正向增大， $ε$ 由0→1。

2) 如图5b所示，在耦合前后电流变化规律相反情况下，对于已经设计好的耦合电感 $β$ 和k已知，在正向耦合时，随着绕组电压比 $|α|$ 增大，电流纹波倍数都反向增大， $ε$ 由0→-1；对于确定的变换器拓扑 $α$ 已知，在正向耦合时，随着耦合电感自感比 $β$ 增大，电流纹波倍数都反向减小， $ε$ 由-1→0，在某一数值，电流纹波为零。

3.3.2 纹波倍数 $|γ_{2}| > 1$ 实现条件

$|γ_{2}| > 1$ ，即 $ε < - 1$ 或 $ε > 1$ ，表示耦合电感L₂内的电流纹波大于非耦合时的纹波。下面分析实现 $|γ_{2}| > 1$ 的耦合方式和绕组电压比 $α$ 、自感比 $β$ 及耦合度k应满足的条件。

(1) 耦合方式。

1) 实现 $ε > 1$ 耦合方式。在这种情况下，对于 $ε > 1$ ， $λ$ 的正负与耦合度k的大小有关，如图6a所示。

在正向耦合 $0 < k < 1$ 情况下，当 $1 < ε < \frac{1}{1 - k^{2}}$ 时， $λ > 0$ ，由式(10)可知 $α > 0$ ，满足正向耦合绕组端部电压要求；当 $ε > \frac{1}{1 - k^{2}}$ 时， $λ < 0$ ，由式(10)可知 $α < 0$ ，不满足正向耦合绕组端部电压要求。

在反向耦合 $- 1 < k < 0$ 情况下，当 $1 < ε < \frac{1}{1 - k^{2}}$ 时， $λ < 0$ ，由式(10)可知 $α < 0$ ，不满足反向耦合绕组端部电压要求；当 $ε > \frac{1}{1 - k^{2}}$ 时， $λ > 0$ ，由式(10)可知 $α > 0$ ，满足反向耦合绕组端部电压要求。

2) 实现 $ε < - 1$ 耦合方式。由图6b可知，在正向耦合 $0 < k < 1$ 时，对于任意的 $ε < - 1$ ，总存在 $λ > 0$ ，根据式(10)得绕组电压比 $α > 0$ ，满足正向耦合绕组端部电压要求；而在反向耦合 $- 1 < k < 0$ 时，对于任意的 $ε < - 1$ ，总存在 $λ < 0$ ，根据式(10)得绕组电压比 $α < 0$ ，不满足反向耦合绕组端部电压要求。

上述分析表明，要实现电流纹波 $γ_{2} > 1$ ，既可以通过正向耦合实现，也可以通过反向耦合实现；要实现电流纹波 $γ_{2} < - 1$ ，只能通过正向耦合实现，而无法通过反向耦合实现。

(2) 设计实现。利用式(8)得到 $|γ_{2}| > 1$ 情况下 $ε$ 即 $γ_{2}$ 与 $α$ 、 $β$ 和k三个参数的函数曲面图形，如图7所示。

图7

图7 α、β、k与ε关系

由图7可知，在正向耦合与反向耦合的情况下，合理设计 $α$ 、 $β$ 和k三个参数都可以实现 $γ_{2} > 1$ ，其实现条件如下：正向耦合设计需要满足 $1 < ε < \frac{1}{1 - k^{2}}$ ，反向耦合设计需要满足 $ε > \frac{1}{1 - k^{2}}$ ；在正向耦合的情况下，合理设计 $α$ 、 $β$ 和k三个参数可以实现 $γ_{2} < 1$ 。其设计方法与 $|γ_{2}| \leq 1$ 相同，在图7中，根据纹波倍数 $γ_{2}$ 设计需要，绘制平面 $ε = γ_{2}$ ，如图7中虚线所示平面，该平面与各耦合度曲面相交获得一组曲线，根据 $α$ 值选取合适的 $β$ 和k的大小或根据 $β$ 值选取合适的 $α$ 和k的大小。

(3) 参考规律。 $ε$ 与 $α$ 、 $β$ 和k的变化规律如下所述。

1) 如图7a和7b所示，在耦合前后电流变化规律相同的情况下，对于已经设计好的耦合电感 $β$ 和k已知，随着绕组电压比 $|α|$ 增大，在正向耦合时，电流纹波倍数减小， $ε$ 由2→1，在反向耦合时，电流纹波倍数增大， $ε$ 由1→2；对于确定的变换器拓扑 $α$ 已知，随着绕组电压比 $β$ 增大，在正向耦合时，电流纹波倍数都增大， $ε$ 由1→2，在反向耦合时，电流纹波倍数都减小， $ε$ 由2→1。

2) 如图7c所示，在耦合前后电流变化规律相反的情况下，对于已经设计好的耦合电感 $β$ 和k已知，随着绕组电压比 $|α|$ 增大，在正向耦合时，电流纹波倍数都增大， $ε$ 由-1向-2；对于确定的变换器拓扑 $α$ 已知，随着绕组电压比 $β$ 增大，在正向耦合时，电流纹波倍数都减小， $ε$ 由-2向-1。

对于确定的变换器拓扑，研究者更关心的是耦合系数对电感电流纹波减小的影响。下文以 $α = 1$ 和 $α = 2$ 为例分析 $- 1 < ε < 1$ 电流纹波减小的情况。 $α = 1$ 和 $α = 2$ 时， $ε$ 与k和 $β$ 两个参数的关系曲线如图8所示，由于只有正向耦合方式才能实现 $- 1 < ε < 1$ ，所以图中只给出了 $k > 0$ 的情况。由图8可知，在绕组电压比为定值时，耦合系数k对 $ε$ 的影响与 $β$ 大小有关。图8a和图8c表明，耦合度k越大， $β$ 的可设计范围越小。由图8b和图8d可见， $α = 1$ 、 $β = 1$ 与 $α = 2$ 、 $β = 4$ 时，在耦合度范围之内电流纹波倍数都小于1，但无法实现电流纹波变化规律相反；若实现电流纹波变化规律相反，需要减小 $β$ 才能实现，在 $β$ 不变情况下，耦合度越大，反向电流纹波越大；对于 $β$ 而言， $α = 2$ 的可设计范围要比 $α = 1$ 大得多。

图8

图8 正向耦合 $|α| = 1$ 时 $β$ 、k与 $ε$ 关系

3.4 $α (t)$ 为时间函数情况分析

当绕组电压比 $α (t)$ 在整个周期内不是固定常数时， $ε_{i - j}^{(2)} (t)$ 为分段时间函数，分析图2可知，当 $τ$ 、D₁、D₂变化时，电流纹波是一个时间段的电流变化量或多个时间段电流变化量的叠加。 $α (t)$ 为时间函数的反向激励波形可以视为 $τ \neq 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$ 情况的同向激励波形，因此下面只给出同向激励波形，分为以下几种情况。

3.4.1 $τ = 0$ , $D_{1} \neq D_{2}$

分为 $D_{1} > D_{2}$ 和 $D_{1} < D_{2}$ 两种情况，如图9所示。

图9

图9 τ=0，D₁≠D₂波形

此种情况耦合电感L₂的电流纹波是某一时间段的电流变化量，即

(18)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (0 - 1)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (2 - 3)} \end{matrix} \begin{matrix} D_{1} > D_{2} \\ D_{1} < D_{2} \end{matrix}

3.4.2 $τ \neq 0$ ， $D_{1} = D_{2}$

分为 $D_{1} = D_{2} < 0.5$ 和 $D_{1} = D_{2} > 0.5$ 两种形式，每种形式又分为 $|τ| < D_{i}$ 和 $|τ| > D_{i}$ 两种情况。

(1) $D_{1} = D_{2} < 0.5$ 。 $τ \neq 0$ ， $D_{1} = D_{2} < 0.5$ 波形如图10和图11所示。

图10

图10 |τ|<D_i，D_i<0.5波形

图11

图11 |τ|>D_i，D_i<0.5波形

1) $|τ| < D_{i}$ ，i=1, 2。由图10可见，此种情况耦合电感L₂的电流纹波是两个时间段电流变化量的叠加值，即

(19)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (1 - 2)} + Δ i_{2 (2 - 3)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (0 - 1)} + Δ i_{2 (1 - 2)} \end{matrix} \begin{matrix} τ < 0 \\ τ > 0 \end{matrix}

2) $|τ| > D_{i}$ ，i=1, 2。由图11可见，此种情况耦合电感L₂的电流纹波也是某一时间段的电流变化量，即

(20)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (1 - 2)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (3 - 4)} \end{matrix} \begin{matrix} τ < 0 \\ τ > 0 \end{matrix}

(2) $D_{1} = D_{2} > 0.5$ 。 $τ \neq 0$ ， $D_{1} = D_{2} > 0.5$ 波形如图12和图13所示。

图12

图12 |τ|<D_i，D_i>0.5波形

图13

图13 |τ|>D_i，D_i>0.5波形

1) $|τ| < D_{i}$ ，i=1, 2。由图12可见，此种情况耦合电感L₂的电流纹波也是两个时间段电流变化量的叠加值，即

(21)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (0 - 1)} + Δ i_{2 (1 - 2)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (1 - 2)} + Δ i_{2 (2 - 3)} \end{matrix} \begin{matrix} τ < 0 \\ τ > 0 \end{matrix}

2) $|τ| > D_{i}$ ，i=1, 2。由图13可知，此种情况耦合电感L₂的电流纹波也是两个时间段电流变化量的叠加值，即

(22)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (1 - 2)} + Δ i_{2 (2 - 3)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (0 - 1)} + Δ i_{2 (1 - 2)} \end{matrix} \begin{matrix} τ < 0 \\ τ > 0 \end{matrix}

3.4.3 $τ \neq 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$

此种情况对应波形比较多，包括类似式(1)和式(2)所述的各种波形在 $D_{1} \neq D_{2}$ 的情况，以及 $D_{1} > D_{2}$ 、 $τ > 0$ 和 $D_{1} < D_{2}$ 、 $τ < 0$ 两种情形，如图14所示。由图14可知，耦合电感L₂的电流纹波在 $D_{1} > D_{2}$ 、 $τ > 0$ 时是[t₁~t₂]时段的电流变化量；在 $D_{1} < D_{2}$ 、 $τ < 0$ 时是[t₀~t₃]三个时段电流变化量的叠加值，即

(23)

\{\begin{matrix} Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (1 - 2)} \\ Δ i_{2 p} = Δ i_{2 (0 - 1)} + Δ i_{2 (1 - 2)} + Δ i_{2 (2 - 3)} \end{matrix} \begin{matrix} τ > 0 \\ τ < 0 \end{matrix}

图14

图14 τ≠0，D₁≠D₂波形

绕组电压比 $α (t)$ 在整个周期内不是固定常数时，电流纹波计算方式如表1所示。

表1 电流纹波计算方式

	相位与占空比条件		电流纹波计算方式
1	τ=0 D₁≠D₂		某一时间段变化量
2	τ≠0 D₁=D₂ D_i<0.5	\|τ\|<D_i	两个时段变化量叠加值
2	τ≠0 D₁=D₂ D_i<0.5	\|τ\|>D_i	两个时段变化量叠加值
3	τ≠0 D₁=D₂ D_i>0.5	\|τ\|<D_i	两个时段变化量叠加值
3	τ≠0 D₁=D₂ D_i>0.5	\|τ\|>D_i	两个时段变化量叠加值
4	τ≠0 D₁≠D₂	τ>0	某一时间段变化量
4	τ≠0 D₁≠D₂	τ<0	三个时段变化量叠加值

因为 $α (t)$ 是分段函数，所以 $α (t)$ 在每个时间段是确定的常数，使用第3.2节设计结论即可计算获得每个时段的电流变化倍数 $ε_{i - j}^{(2)}$ ，从而获得电感L₂的电流纹波变化倍数 $γ_{2}$ ，控制电流纹波大小。

电感L₂电流纹波仅是某一时段的情况。

(24)

γ_{2} = ε_{i - j}^{(2)}

对于电流纹波为多个时段电流变化量叠加的情况，其电流纹波变化倍数 $γ_{2}$ 是电感L₂施加 $u_{2 \max}$ 或 $u_{2 \min}$ 时间范围内各时间段电流变化倍数的关于时间百分比加权值。

对于两个时段情况

(25)

γ_{2} = ε_{a - b}^{(2)} \frac{Δ t_{a - b}}{Δ t_{a - c}} + ε_{b - c}^{(2)} \frac{Δ t_{b - c}}{Δ t_{a - c}}

对于三个时间段情况

(26)

γ_{2} = ε_{a - b}^{(2)} \frac{Δ t_{a - b}}{Δ t_{a - d}} + ε_{b - c}^{(2)} \frac{Δ t_{b - c}}{Δ t_{a - d}} + ε_{c - d}^{(2)} \frac{Δ t_{c - d}}{Δ t_{a - d}}

式中， $a, b, c, d = 1, 2, a < b < c < d$ 。

(27)

\{\begin{matrix} Δ t_{a - b} = t_{b} - t_{a} \\ Δ t_{b - c} = t_{c} - t_{b} \\ Δ t_{c - d} = t_{d} - t_{c} \end{matrix}

(28)

\{\begin{matrix} Δ t_{a - c} = Δ t_{a - b} + Δ t_{b - c} \\ Δ t_{a - d} = Δ t_{a - b} + Δ t_{b - c} + Δ t_{c - d} \end{matrix}

3.5 电感L₁电流纹波

在已知各时段电感L₂电流变化量 $Δ i_{2}$ 的情况下，可以根据式(14)求出电感L₁电流变化量 $Δ i_{1}$ 。由式(3)，按照式(6)~(8)的推导方法可以得到

(29)

ε_{i - j}^{(2)} (t) = \frac{α (t) - k \sqrt{β}}{α (t) (1 - k^{2})}

依据第3.3节理论计算电感L₁电流纹波 $Δ i_{1 p}$ 以及电感L₁的电流变化倍数 $γ_{1}$ 。

4 仿真验证

仿真参数设置如下：f_s=100 kHz，L₁=L₂=100 μH，则电感自感比为 $β = 1$ 。

4.1 $α (t)$ 为常数仿真验证

在 $τ = 0$ 时，正向耦合与反向耦合对应的激励电压为正向激励与反向激励，施加在绕组上的电压如表2所示。

表2 绕组上施加的电压 V

名称	u_1max	u_1min	u_2max	u_2min
k>0, τ=0, D₁=D₂	70	-30	35	-15
k<0, τ=0, D₁=D₂	70	-30	15	-35

占空比取为D=0.3；根据仿真参数，整个周期内绕组电压比为 $α = 2$ 。耦合系数k的大小分别取±0.3、±0.6和+0.8，在耦合电感两侧绕组端部施加图3a方波电压进行仿真，仿真结果如图15所示，图15中i2-Non-Coupling为非耦合情况下电感L₂中的电流 ${i^{'}}_{2}^{}$ ，i2-Coupling为耦合情况下电感L₂中的电流 $i_{2}$ ，下述分析定义相同。

图15

图15 仿真验证波形

图15a和图15c电流仿真波形验证了图5分析的正确性，正向耦合能够实现电感L₂电流纹波 $|γ_{2}| \leq 1$ ，在耦合系数k=0.6时，实现电流纹波耦合前后变化规律相反，也验证了图8d分析的正确性，图15e电流仿真波形验证了图7c分析的正确性，当耦合电感耦合度增大到一定程度时可以实现 $|γ_{2}| > 1$ ；图15b和图15d电流仿真波形验证了反向耦合无法实现电感电流纹波减小，并且无法实现电流纹波耦合前后变化规律相反。

正向耦合电流纹波倍数仿真与理论计算对比如表3所示，对比结果验证了式(8)的正确性。

表3 $α (t)$ 为常数时 $|γ_{2}|$ 理论计算与仿真结果对比

耦合系数k	占空比		纹波变化倍数 $\|γ_{2}\|$		误差
耦合系数k	D₁	D₂	理论	仿真	误差
0.3	0.3	0.3	0.439 5	0.439 4	-0.000 1
0.6	0.3	0.3	0.312 3	0.312 5	0.000 2
0.8	0.3	0.3	1.666 7	1.666 6	-0.000 1
-0.3	0.3	0.3	1.758 2	1.758 2	0
-0.6	0.3	0.3	3.437 5	3.437 5	0

4.2 $α (t)$ 为时间函数仿真验证

4.2.1 $τ = 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$

正向耦合与反向耦合时施加与绕组上的电压如表4所示。

表4 绕组上施加的电压 V

名称		u_1max	u_1min	u_2max	u_2min
k>0, τ=0	D₁>D₂	60	-40	35	-15
k>0, τ=0	D₁<D₂	70	-30	30	-20
k<0, τ=0	D₁>D₂	60	-40	15	-35
k<0, τ=0	D₁<D₂	70	-30	20	-30

正向耦合系数取为k=0.3，反向耦合系数取为k=-0.2，占空比D₁和D₂分别互取为0.3和0.4进行仿真，仿真验证波形如图16所示， $|γ_{2}|$ 的理论计算与仿真结果对比如表5所示。

图16

图16 仿真验证波形

表5 $α (t)$ 为时间函数时 $|γ_{2}|$ 理论计算与仿真结果1

耦合系数k	占空比		纹波变化倍数 $\|γ_{2}\|$		误差
耦合系数k	D₁	D₂	理论	仿真	误差
0.3	0.4	0.3	0.533 7	0.533 8	0.000 1
0.3	0.3	0.4	0.604 4	0.605 4	0.001 0
-0.2	0.4	0.3	1.398 8	1.398 9	0.000 1
-0.2	0.3	0.4	1.354 2	1.355 6	0.001 4

图16和表5验证了耦合电感在施加 $τ = 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$ 激励电压波形同样满足式(8)和式(18)的计算结果。

4.2.2 $τ \neq 0$ ， $D_{1} = D_{2}$

根据第3.4节分析，在 $τ \neq 0$ ， $D_{1} = D_{2}$ 情况下，其电流纹波计算方式均为两个时段变化量叠加值，故在此仅以 $D_{i} < 0.5$ ， $|τ| < D_{i}$ 情况进行仿真。正向耦合与反向耦合时施加与绕组上的电压如表6所示。

表6 绕组上施加的电压 V

名称	u_1max	u_1min	u_2max	u_2min
k>0, τ > 0	70	-30	35	-15
k >0, τ<0	70	-30	35	-15
k <0, τ>0	70	-30	35	-15
k<0, τ<0	70	-30	35	-15

正向耦合系数取为k=0.3，反向耦合系数取为k=-0.2，占空比D₁和D₂均取为0.3， $|τ| = 0.1$ 进行仿真，仿真验证波形如图17所示， $|γ_{2}|$ 的理论计算与仿真结果对比如表7所示。

图17

图17 仿真验证波形

表7 $α (t)$ 为时间函数时 $|γ_{2}|$ 理论计算与仿真结果2

耦合系数k	D_i	τ	纹波变化倍数 $\|γ_{2}\|$		误差
耦合系数k	D_i	τ	理论	仿真	误差
0.3	0.3	0.1	0.753 5	0.753 4	0.000 1
0.3	0.3	-0.1	0.753 5	0.753 6	0.000 1
-0.2	0.3	0.1	1.259 9	1.260 0	0.000 1
-0.2	0.3	-0.1	1.259 9	1.259 9	0

图17和表7验证了耦合电感在施加 $τ = 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$ 激励电压波形同样满足理论分析式(8)和式(19)的计算结果。

4.2.3 $τ \neq 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$

根据第3.4节分析，在 $τ \neq 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$ 情况下，其电流纹波计算方式有多种，在此以k<0， $D_{1} > D_{2}$ 情况为例进行仿真验证。正向耦合与反向耦合时施加与绕组上的电压如表8所示。

表8 绕组上施加的电压 V

名称	u_1max	u_1min	u_2max	u_2min
k>0，τ>0；D₁>D₂	30	-45	60	-15
k>0，τ<0；D₁>D₂	30	-45	60	-15

反向耦合系数取为k=-0.2，占空比D₁和D₂分别取为0.6和0.2， $|τ| = 0.3$ ，仿真验证波形如图18所示， $|γ_{2}|$ 的理论计算与仿真结果对比如表9所示。

图18

图18 仿真验证波形

表9 $α (t)$ 为时间函数时 $|γ_{2}|$ 理论计算与仿真结果3

耦合系数k	D_i	τ	纹波变化倍数 $\|γ_{2}\|$		误差
耦合系数k	D_i	τ	理论	仿真	误差
-0.2	D₁=0.6, D₂=0.2	0.3	1.145 8	1.145 8	0
-0.2	D₁=0.6, D₂=0.2	-0.3	0.885 4	0.885 4	0

图18和表9验证了耦合电感在施加 $τ \neq 0$ ， $D_{1} \neq D_{2}$ 激励电压波形同样满足理论分析式(8)和式(23)的计算结果。

5 结论

本文对变换器中电感磁集成电流纹波变化进行研究，以两电感耦合的通用数学模型角度出发，分析了耦合电感的端电压、自感、耦合系数以及相位差对耦合电感电流纹波的影响，分析了在不同情况下，电感耦合后电流纹波变化情况并给出纹波变化规律，通过仿真验证不同情况下，电感耦合后电流纹波的变化，本文所分析的磁集成纹波设计准则可应用于各种串联、并联、组合、双输入变换器中。

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