随着智能电网发展,现代电力系统更加趋向于多互联,大规模方向发展,因此仅依赖传统的区域信号控制方法将无法满足系统对性能的要求。近些年,随着同步相量测量装置技术,全球定位系统技术和现代电力通信技术的广域测量系统的应用,使得将本地电力系统信息同步采样并传送至远程控制中心成为可能,这就可以通过广域控制器对电力系统进行协调控制^[1]。但是,电网广域监测系统(Wide area measurement system, WAMS)的应用将电力系统变成了一个时滞系统,各类广域控制信道中难免存在时滞,直接影响到电力系统的稳定性。因此,研究电力系统所能承受的时滞稳定裕度是很有意义的。此外,为了保证电力系统稳定运行,研究电力系统时滞镇定器的设计也具有非常重要的意义。

目前,时滞系统的研究方法通常是基于Lyapunov直接法的时域法^[2,3,4,5,6]。通过构造Lyapunov泛函,借助Lyapunov稳定性理论,得出系统的稳定判据,最后借助线性矩阵不等式技术求解得出系统的时滞稳定裕度。文献[7]提出新的积分不等式处理方式,有效地降低了结果的保守性;文献[8]引入自由权矩阵来降低双时滞系统判据的保守性;文献[9]利用Wirtinger不等式对泛函的导数中一次积分项进行有效放缩;文献[5-6, 10]主要研究电力系统单时滞系统的情况;文献[11,12]中的试验结果具有较大的保守性;文献[13]采用“时滞分割”思想降低试验结果的保守性;文献[14]将Wirtinger不等式引入双时滞系统。文献[15]采用H_∞控制理论进行控制器的设计,但是由于权函数选取没有规律性,这种方法就受到了一定的限制^[16]。二十世纪九十年代开始,线性矩阵不等式技术迅速发展^[17]。文献[18]通过Pade多项式方法,逼近时滞超越项,再使用线性矩阵不等式方法,得到了一种广域控制器设计方法,但是该方法属于近似方法,难免存在误差。文献[19]利用线性矩阵不等式方法,把励磁控制器参数的设计问题转变为求解确保一个闭环系统稳定运行的合适参数问题。文献[20]根据数学推算得到的时滞稳定判据,设计反馈控制器。

文章基于常时滞电力系统模型基础上,建立了时变时滞(即时滞不确定)电力系统模型,构建新的增广LK泛函,应用文献[21]中Bessel-Legendre不等式估计该泛函的导数,以改善时变时滞电力系统的最大时滞上界。再应用参数调整法^[22]进行时变时滞电力系统鲁棒镇定控制器设计,通过典型二阶时滞系统和单机无穷大电力系统进行实例验证、模型仿真,证明了文章方法的实用性和优越性。

在进行时滞电力系统稳定性分析时,通常建立简单的系统模型,达到对系统基本性能和概念的理解。本文主要从单机无穷大系统着手研究,以此为基础,从而可以分析更加复杂的大型网络系统。

单机无穷大系统模型主要由一个发电机组(原动机、发电机以及励磁系统等)、变压器、输电线路以及理想化的无穷大母线端构成。单机无穷大系统简化模型见图1。

本节主要讨论三阶矩阵模型的单机无穷大电力系统,常用的模型方程如下

其中

${\omega _B} = 2\pi {f_0} {P_G} = \frac{{{{E}_q}{V_o}\sin \delta }}{{{x_e} + {{x'}_d}}} {I_d} = \frac{{{{E}_q} - {V_0}\cos \delta }}{{{x_e} + x_d^{'}}}$

式中,$\delta$表示功角;$\omega$表示角速度;${\omega _B}$表示额定角速度;f₀表示基准频率;M表示惯性时间常数;${P_m}$表示输出的机械功率;P_G表示输出的电磁功率;D表示阻尼系数;${\dot E_q}$表示q轴电抗后暂态电势;${T_{do}}$表示发电机的d轴开路时间常数;${E_{fd}}$表示励磁系统的输出电势;${x_d}$表示发电机的d轴稳态电抗;$x_d^{'}$表示发电机的d轴暂态电抗;I_d表示d轴的电流;${V_0}$表示无穷大母线的端电压;x_e表示线路的阻抗。

发电机的机端电压为

假定系统的稳定平衡点为$\left( {{\delta _0},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\omega _0},{\kern 1pt} {\kern 1pt} E_{q0}^{'},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {E_{fd0}}} \right)$,将式(1)~(4)描述的非线性模型在平衡点处作线性化处理。经推导,得到下述线性系统

其中

${K_1} = \frac{{E_{q0}^{'}{V_s}\cos {\delta _0}}}{{{x_e} + x_d^{'}}} {K_2} = \frac{{{V_0}\sin {\delta _0}}}{{{{\bf{x}}_e} + {\bf{x'}}_d^{'}}} \\ {K_3} = \frac{{{{\bf{x}}_d} - {\bf{x'}}_d^{'}}}{{{{\bf{x}}_e} + {\bf{x'}}_d^{'}}}{V_0}\sin {\delta _0} {K_4} = \frac{{{{\bf{x}}_e} + {{\bf{x}}_d}}}{{{{\bf{x}}_e} + {\bf{x'}}_d^{'}}}$

文章讨论基于自动电压调节励磁控制系统的时滞相关鲁棒性,假定在机组电压测量时存在时滞,得到下列状态方程

式中,K_A表示控制增益;T_A表示时间常数;h表示时滞参数;V_ref表示机端电压的参考值;${E_{fd0}}$表示励磁控制的输出参考值。

结合系统模型式(5)和状态方程式(6),在平衡点$\left( {{{\bf{\delta }}_0},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\bf{\omega }}_0},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\bf{E}}_{q0}^{'},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\bf{E}}_{fd0}}} \right)$处进行线性化处理,经过计算推导得到含时滞的线性电力系统模型

其中,${\bf{x}}(t) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta {\bf{\delta }}}&{\Delta {\bf{\omega }}}&{\Delta {\bf{E}}_q^{'}}&{\Delta {{\bf{E}}_{fd}}}\end{array}} \right]^T}$

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{\bf{\omega }}_B}}&0&0\\ { - \frac{{{K_1}}}{{\bf{M}}}}&{ - \frac{{\bf{D}}}{{\bf{M}}}}&{ - \frac{{{K_2}}}{{\bf{M}}}}&0\\ { - \frac{{{K_3}}}{{{\bf{T'}}_{d0}^{'}}}}&0&{ - \frac{{{K_4}}}{{{\bf{T'}}_{d0}^{'}}}}&0\\ 0&0&0&{ - \frac{1}{{{{\bf{T}}_A}}}} \end{array}} \right]$

${A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ { - \frac{{{K_5}{{\bf{K}}_A}}}{{{{\bf{T}}_A}}}}&0&{ - \frac{{{K_6}{{\bf{K}}_A}}}{{{{\bf{T}}_A}}}}&0 \end{array}} \right] {K_5} = \frac{{ - {{\bf{x}}_e}{\bf{x'}}_d^{'}{\bf{E}}_{q0}^{'}\sin {{\bf{\delta }}_0}}}{{\left( {{{\bf{x}}_e} + {\bf{x'}}_d^{'}} \right)\sqrt {{{\left( {{{\bf{x}}_q}{{\bf{V}}_0}\sin {{\bf{\delta }}_0}} \right)}^2} + {{\left( {{{\bf{x}}_e}{\bf{E}}_{q0}^{'} + {\bf{x'}}_d^{'}{{\bf{V}}_0}\cos {{\bf{\delta }}_0}} \right)}^2}} }}$

${K_6} = \frac{{{{\bf{x}}_e}{\bf{x'}}_d^{'}{\bf{E}}_{q0}^{'}\cos {{\bf{\delta }}_0} + {\bf{x}}_e^2{\bf{E}}_{q0}^{'}}}{{\left( {{{\bf{x}}_e} + {\bf{x'}}_d^{'}} \right)\sqrt {{{\left( {{{\bf{x}}_q}{{\bf{V}}_0}\sin {{\bf{\delta }}_0}} \right)}^2} + {{\left( {{{\bf{x}}_e}{\bf{E}}_{q0}^{'} + {\bf{x'}}_d^{'}{{\bf{V}}_0}\cos {{\bf{\delta }}_0}} \right)}^2}} }}$

文章讨论的电力系统模型是基于式(6)的自动电压调节励磁控制系统的时滞电力系统模型,不同的是模型的时滞类型为时变时滞,且时滞变化量未知(即$\dot h(t)$未知),式(6)转变为

式(7)转变为下列时变时滞线性电力系统模型

式中,$0h(t)h$为时滞变量,$h$为时滞稳定裕度。

考虑给系统设计反馈控制器

式中,${K_1}$、${K_2}$表示待解的反馈控制器增益矩阵。

为了得到文章定理判据,下面介绍几种引理。

引理1^[21]：定义$\omega$是在区间[a, b]→Rⁿ上的可导函数,对于适当维数实对称矩阵$Z$>0,任意适当维数矩阵$M$,有积分不等式(11)成立

其中

$\tilde Z = diag\left\{ {Z{\kern 1pt},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3Z{\kern 1pt},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5Z} \right\} \varsigma = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\omega (b)}&{\omega (b)}&{{\gamma _1}}&{{\gamma _2}}\end{array}} \right]^T}$

${\gamma _1} = \int_a^b {\frac{{\omega (s)}}{{b - a}}} ds {\gamma _2} = \int_a^b {\frac{{(b - s)\omega (s)}}{{{{(b - a)}^2}}}} ds \Pi = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}I&{ - I}&0&0\\I&I&{ - 2I}&0\\I&{ - I}&{ - 6I}&{12I}\end{array}} \right]$

为得到文章的判据,首先定义向量、矩阵如下

基于Bessel-Legendre不等式并结合自由权矩阵方法,得到时变时滞电力系统的稳定判据如下。

定理1：存在实对称矩阵$\bar P$ ($\Phi$${R^{4n \times 4n}}$)>0,${\bar Q_1}$ ($\Phi$${R^{n \times n}}$)>0,${\bar Q_2}$ ($\Phi$${R^{n \times n}}$)>0,$\bar R$ ($\Phi$${R^{n \times n}}$)>0,适当维数任意矩阵${\bar Y_1}$、${\bar Y_2}$、$H$、${l_1}$、$\bar N$,任意标量$\varepsilon$,对于条件$0 \le h(t) \le h$,如果不等式组(23)、(24)成立,则系统式(22)稳定。

式中,$\Phi (h(t)) = {\Phi _1} + {\Phi _2}$。

证明：根据Lyapunov稳定理论,构建新的增广型LK泛函如下

当P>0,Q₁>0,Q₂>0,R>0时,则函数正定,即$V({x_t})0$。对$V({x_t})$求导可得

由引理1得

对于适当维数任意矩阵N,有以下等式成立

考虑到适当维数任意矩阵X_i(i=1, 2, 3),有以下等式成立

结合式(16)~(20),得

应用Schur补定理,式(21)等价于式(12)、(13)。因此,如果式(12)、(13)成立,则有$\dot V(t)0$,根据Lyapunov稳定理论,系统(式(9))稳定,证毕。

若${K_2}$是零向量,则式(10)表示无记忆控制器。在控制器式(10)的作用下,式(9)转变为

式中,B表示适当维数的常数矩阵。

此时,将不等式(12)、(13)中A替换成$A + B{K_1}$,定义

$\bar N = {\chi _3}N\chi _1^T$,在式(12)、(13)分别左乘和右乘${\chi _4}$,可得如下判据。

定理2：存在实对称矩阵$\bar P$ (${R^{4n \times 4n}}$)>0,${\bar Q_1}$ (${R^{n \times n}}$)>0,${\bar Q_2}$ (${R^{n \times n}}$)>0,$\bar R$ (${R^{n \times n}}$)>0,适当维数任意矩阵${\bar Y_1}$、${\bar Y_2}$、$H$、${l_1}$、$\bar N$,任意标量$\varepsilon$,对于条件$0 \le h(t) \le h$,如果不等式组(23)、(24)成立,则系统式(22)稳定。

其中

其他各项参考定理1。

若${K_2}$是非零向量,则式(10)表示有记忆控制器。在控制器式(10)的作用下,式(9)转变为

式中,B表示适当维数的常数矩阵。

此时,将不等式(12)、(13)中A替换成$A + B{K_1}$,${A_1}$替换成$A + B{K_2}$,定义：${l_2} = {K_2}H$,在式(12)、(13)分别左乘和右乘${\chi _4}$,可得如下判据。

定理3：存在实对称矩阵$\bar P$ ( ${R^{4n \times 4n}}$)>0,${\bar Q_1}$ (${R^{n \times n}}$)>0,${\bar Q_2}$ (${R^{n \times n}}$)>0,$\bar R$ (${R^{n \times n}}$)>0,适当维数任意矩阵${\bar Y_1}$、${\bar Y_2}$、$H$、${l_1}$、${l_2}$、$\bar N$,任意标量$\varepsilon$,对于条件$0 \le h(t) \le h$,如果不等式组 式(26)、(27)成立,则系统(式(25))稳定。

其中

$\bar \bar \Phi (h(t)) = {\bar \Phi _1} + {\bar \bar \Phi _2}$

${\bar \Phi _2} = Sym\left\{ {\bar \Pi _{10}^T{{\bar \bar \Pi }_{11}} + \bar N{\Pi _9} + \Pi _7^T{{\bar Y}_1} + \Pi _8^T{{\bar Y}_2}} \right\}$

${\bar \bar \Pi _{11}}{\rm{ = [}}e_1^T{A^T}{H^T} + e_1^TB{l_1} + e_2^T{A_d}^T{H^T} + e_2^TB{l_2} - e_{13}^T{H^T}{]^T}$

其他各项参考定理2。

使用二阶系统和单机无穷大系统为例,考虑$\varepsilon = 1$的情况下无记忆控制器和有记忆控制器作用下的系统情况。

常见的二阶系统如下所示

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\;\;\;\;\;{A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 0.5}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]\;\;\;\;\;B{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]$

若使用无记忆状态反馈控制器镇定时,所得时滞稳定裕度为h=0.691 6 s,此时控制器的反馈增益[K₁]= [0.598 8-2.208 3],图2为该系统状态变量响应曲线。

若使用有记忆状态反馈控制器镇定时,所得时滞稳定裕度为h=0.691 6 s,此时控制器的反馈增益如下,此时的状态变量响应曲线如图3所示。

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}}\\{{K_2}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2.423\;1}\\{0.500\;0}&{1.328\;3}\end{array}} \right]$

通过对比文献[23]获得的时滞上界h=0.656 9 s,体现出所提方法有一定的优越性。虽然无记忆控制器和有记忆控制器求得的最大时滞上界相同,但是可以从图2、3中看出,有记忆反馈控制器在收敛速度上明显优于无记忆控制器。

考虑单机无穷大系统时,参照文献[23],系统矩阵参数A、A₁和B分别为

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{376.991\;1}&0&0\\{ - 0.096\;3}&{ - 0.700\;0}&{ - 0.080\;1}&0\\{ - 0.048\;0}&0&{ - 0.166\;7}&{0.100\;0}\\0&0&0&{ - 1.000\;0}\end{array}} \right] {A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\{38.018\;7}&0&{ - 95.256\;0}&0\end{array}} \right] B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\\1\end{array}} \right]$

若使用无记忆状态反馈控制器镇定时,所得时滞稳定裕度为h=0.143 2 s,此时控制器的反馈增益$\left[ {{K_1}} \right] = {10^7} \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 0.112\;6}&{0.003\;3}&{0.001\;5}&{ - 1.367\;3}\end{array}} \right]\;\;$图4为该系统状态变量响应曲线。

若使用有记忆状态反馈控制器镇定时,所得时滞稳定裕度为h=0.143 2 s,此时控制器的反馈增益如下,此时的状态变量响应曲线如图5所示。

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}}\\{{K_2}}\end{array}} \right] = {10^6} \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 0.754\;2}&{0.021\;8}&{0.010\;3}&{ - 9.158\;3}\\{ - 0.000\;4}&0&0&{ - 1.605\;1}\end{array}} \right]$

通过对比文献[23]的时滞上界h=0.140 7 s,体现出所提方法有一定的优越性。

当h取0.1 s/0.01 s/0.001 s时,在无记忆控制器作用下,求得控制器增益参数见表1,单机无穷大系统的仿真结果如图6所示。

当h取0.1 s/0.01 s/0.001 s时,在有记忆控制器作用下,求得控制器增益参数见表2,单机无穷大系统的仿真结果如图7所示。

由图6、7可知,在单机无穷大系统中,无论是记忆状态反馈控制器还是有记忆状态反馈控制器,在不同时滞中的镇定控制效果差异不大。

由图8可知,在h=0.143 2 s时,有记忆状态反馈控制器和无记忆状态反馈控制器对系统镇定控制作用几乎相同;但是没有控制器作用时,单机无穷大系统是不稳定的。

(1) 建立了时变时滞(即时滞不确定)电力系统模型,考虑时滞情况比较全面。

(2) 通过构建合适的增广Lyapunov泛函,应用Bessel-Legendre不等式处理泛函导数中的积分项,大大提高了时变时滞电力系统的时滞上界。

(3) 再应用参数调整法进行时变时滞电力系统无记忆和有记忆鲁棒镇定控制器设计,通过分析和比较,两种实例验证、模型仿真证明了文章方法的优越性和实用性。