1 引言
近年来,基于相量测量单元(Phase Measurement Unit,PMU)技术、全球定位系统(Global Positioning System,GPS)技术和现代电力通信技术的广域测量系统(Wide-Area Measurement System,WAMS)的应用,使得现代电力系统的分布式同步测量和稳定性控制成为了可能。但是,WAMS的应用将电力系统变成了一个时滞系统,各类广域控制信道中难免存在时滞,这些不确定参数直接影响电力系统的稳定性。因此,研究时变时滞电力系统所能承受的最大时滞很有意义。
目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法。文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项。文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项。文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度。文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态。文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法。文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性。文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制。文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性。
本文在上述文献研究的基础上建立不确定扰动时变时滞电力系统模型,并结合系统的相关约束条件,构建合适的Lyapunov-Krasovskii泛函,引入文献[1 ]提出的处理积分项的自由矩阵积分不等式方法,得出系统的鲁棒稳定性条件。根据得到的鲁棒稳定性条件,获得励磁放大系数中扰动项与系统时滞裕度之间的关系,以单机无穷大系统为例,仿真结果表明本文方法具有更小的保守性。
2 系统模型
(1) $\left\{ \begin{align} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bx(t-h(t))\ \ \ \ t>0 \\ x(t)=\Phi (t)\ \ \ \ t\in \left[ \begin{matrix} -h 0 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right. $
式中,x (t )为状态向量,x (t )∈Rn n n 维实数域;A 、B 为系统矩阵;h (t )为时变时滞函数,且0<h (t )<h ,h 为时滞稳定裕度,常数;Φ (t )为初始状态。
考虑电力系统中存在扰动时,系统矩阵也会发生改变,可用不确定参数进行描述,则式(1)转变为
(2) $\left\{ \begin{align} \dot{x}(t)=(A\text{+}\Delta A)x(t)+ \\ \text{ }(\beta +\Delta B)x(t-h(t))\ \ \ \ t>0 \\ x(t)=\Phi (t)\ \ \ \ t\in \left[ \begin{matrix} -h 0 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right.$
式中,ΔA 、ΔB 为系统扰动项,且[ΔA , ΔB ]=HF (t )[E a , E b ],H 、E a 和E b 为已知常数矩阵;F (t )为时变矩阵,且满足条件F T F ≤I ,I 为适合维数的单位矩阵。
下面介绍两个重要引理,用来推导得出系统的鲁棒稳定性判据。
引理1[1 ] 对于任意矩阵R (∈Rn × n n × n n 阶正对称矩阵集合)>0, T 1 , T 2 , T 3 ∈R4 n ×4 n x : [α , β ],使得不等式式(3)成立,即
(3) $-\int_{\alpha }^{\beta }{\dot{x}{}^{T}(s)R\dot{x}(s)}\text{d}s\le \vartheta {}^{T}\Omega \vartheta$
$\vartheta =\left[ x{}^{T}(\beta )x{}^{T}(\alpha )\frac{1}{\tau }\int_{\alpha }^{\beta }{x{}^{T}(s)}\text{d}s\frac{2}{{{\tau }^{2}}}\int_{\alpha }^{\beta }{\int_{\alpha }^{s}{x{}^{T}(u)\text{d}u\text{d}s}} \right]{}^{^{^{^{T}}}}$
$\begin{align} \Omega =\tau ({{T}_{1}}{{R}^{-1}}T_{1}^{T}+\frac{1}{3}{{T}_{2}}{{R}^{-1}}T_{2}^{T}+\frac{1}{5}{{T}_{3}}{{R}^{-1}}T_{3}^{T})+ \\ Sym\{{{T}_{1}}{{\prod }_{a}}+{{T}_{2}}{{\prod }_{b}}+{{T}_{3}}{{\prod }_{c}}\} \\ \end{align}$
${{\prod }_{a}}={{e}_{1}}-{{e}_{2}}$,${{\prod }_{b}}={{e}_{1}}+{{e}_{2}}-2{{e}_{3}}$
${{\prod }_{c}}={{e}_{1}}-{{e}_{2}}-6{{e}_{3}}+6{{e}_{4}}$,$\tau =\beta -\alpha $
引理2[11 ] 给定适当维数矩阵Z =Z T ,H ,E ,则Z +HFE +E T F T H T <0 ,对所有满足F T F ≤I 的F ,当且仅当存在λ >0,有
(4) $Z+\lambda H{{H}^{T}}+{{\lambda }^{-1}}{{E}^{T}}E<0$
3 时变时滞系统鲁棒稳定性判据
本节使用自由矩阵积分不等式方法,推导出时变时滞系统稳定性判据。向量、矩阵定义如下：
$\eta (t)={{\left[ \begin{matrix} {{x}^{\tau }}(t) \int_{t-h}^{t}{{{x}^{T}}(s)\text{d}s} \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$
${{\eta }_{\text{1}}}\text{(}t\text{)=}{{\left[ {{x}^{T}}(t){{x}^{\text{T}}}(t-h(t)){{x}^{T}}(t-h) \right]}^{T}}$
${{\eta }_{2}}\text{(}t\text{)=}{{\left[ \frac{1}{h(t)}\int_{t-h(t)}^{t}{{{x}^{T}}(s)\text{d}s}\frac{1}{h-h(t)}\int_{t-h}^{t-h(t)}{{{x}^{T}}(s)\text{d}s} \right]}^{T}}$
${{\eta }_{3}}\text{(}t\text{)=}{{\left[ \frac{2}{h{{(t)}^{2}}}\int_{t-h(t)}^{t}{\int_{t-h(t)}^{s}{{{x}^{T}}(u)\text{d}u\text{d}s}} \right]}^{T}}$
${{\eta }_{4}}\text{(}t\text{)=}{{\left[ \frac{2}{{{\left[ h-h(t) \right]}^{2}}}\int_{t-h}^{t-h(t)}{\int_{t-h}^{s}{{{x}^{T}}(u)\text{d}u\text{d}s}} \right]}^{T}}$
$\xi (t)={{\left[ \eta _{1}^{T}(t)\eta _{2}^{T}(t)\eta _{3}^{T}(t)\eta _{4}^{T}(t){{{\dot{x}}}^{T}}(t) \right]}^{T}}$
${{e}_{i}}=\left[ \begin{matrix} {{0}_{n\times (i-1)n}} {{I}_{n}} {{0}_{n\times (8-i)n}} \\ \end{matrix} \right] $ $i=1,2,\cdots ,8$
定理1 如果存在标量λ >0,矩阵P (∈R2 n ×2 n > 0(P >0表示矩阵P 对称正定),Q、R (如果存在标量Rn × n > 0,对称矩阵Ni 、Mi 如果存在标量R4 n × n i =1,2,3)及任意矩阵X 1 、X 2 、X 3 如果存在标量Rn × n 0 <h(t) <h ,有不等式式(5)成立,则系统式(2)鲁棒稳定。
(5) $\left[ \begin{matrix} \overline{\Phi } & \theta _{1}^{T} & \sqrt{\widehat{h(t)}}{{\Pi }_{21}}^{T}{{N}_{i}} & \sqrt{h(t)}{{\Pi }_{22}}^{T}{{M}_{i}} \\ * & -\lambda I & 0 & 0 \\ * & * & W & 0 \\ * & * & * & W \\ \end{matrix} \right]＜0$
式中,“*”表示矩阵中的对称项,W =diag{-R , -3R ,-5R },$\widehat{h(t)}=h-h(t) $,$\overline{\Phi }={{\Phi }_{1}}+{{\Phi }_{2}}+{{\Phi }_{3}}+\lambda \theta _{2}^{T}{{\theta }_{2}}$
${{\Phi }_{1}}\text{=}Sym\left\{ \Pi _{1}^{T}P{{\Pi }_{2}} \right\}+e_{1}^{T}Q{{e}_{1}}-e_{3}^{T}Q{{e}_{3}}+he_{8}^{T}R{{e}_{8}}$,${{\Phi }_{2}}=$
${{\Phi }_{21}}+{{\Phi }_{22}}$,${{\Phi }_{3}}=Sym\{\Pi _{9}^{T}{{\Pi }_{10}}\}$,${{\Phi }_{21}}\text{=}Sym\{\Pi _{21}^{T}{{N}_{1}}{{\Pi }_{3}}+$
$\Pi _{21}^{T}{{N}_{2}}{{\Pi }_{4}}+\Pi _{21}^{T}{{N}_{3}}{{\Pi }_{5}}\}$,${{\Phi }_{22}}\text{=}Sym\{\Pi _{22}^{T}{{M}_{1}}{{\Pi }_{6}}+\Pi _{22}^{T}$
${{M}_{2}}{{\Pi }_{7}}+\Pi _{22}^{T}{{M}_{3}}{{\Pi }_{8}}\}$,${{\theta }_{1}}\text{=}[e_{8}^{T}{{X}_{1}}H+e_{1}^{T}{{X}_{2}}H+e_{2}^{T}{{X}_{3}}$
$H{{]}^{T}}$,${{\theta }_{2}}\text{=}{{[e_{1}^{T}E_{a}^{T}+e_{2}^{T}E_{b}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{1}}\text{=}[e_{1}^{T}\text{ }h(t)e_{4}^{T}\text{+ (}h-$,$h(t))e_{5}^{T}{{]}^{T}}$,${{\Pi }_{2}}\text{=}{{[e_{8}^{T}\text{ }e_{1}^{T}-e_{3}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{3}}\text{=}{{[e_{2}^{T}\text{-}e_{3}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{4}}\text{=}$
${{[e_{2}^{T}+e_{3}^{T}-2e_{5}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{5}}\text{=}{{[e_{2}^{T}-e_{3}^{T}-6e_{5}^{T}+6e_{7}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{6}}\text{=}$
${{[e_{1}^{T}-e_{2}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{7}}\text{=}{{[e_{1}^{T}+e_{2}^{T}-2e_{4}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{8}}\text{=}[e_{1}^{T}-e_{2}^{T}-$
$6e_{4}^{T}+6e_{6}^{T}{{]}^{T}}$,${{\Pi }_{9}}\text{=}[e_{8}^{T}{{X}_{1}}+e_{1}^{T}{{X}_{2}}+e_{2}^{T}{{X}_{3}}^{T}]$,${{\Pi }_{10}}\text{=}$
${{\text{ }\!\![\!\!\text{ }e_{1}^{T}{{A}^{T}}+e_{2}^{T}{{B}^{T}}-e_{8}^{T}]}^{T}}$,${{\Pi }_{21}}={{[\begin{matrix} e_{2}^{T} e_{3}^{T} e_{5}^{T} e_{7}^{T} \\ \end{matrix}]}^{T}}$,
${{\Pi }_{22}}={{[\begin{matrix} e_{1}^{T} e_{2}^{T} e_{4}^{T} e_{6}^{T} \\ \end{matrix}]}^{T}}$。
证明：选取下面的Lyapunov-Krasovskii泛函
(6) $V({{x}_{t}})={{\eta }^{T}}(t)P\eta (t)+\int_{t-h}^{t}{{{x}^{T}}(s)Qx(s)\text{d}s}+[\int_{-h}^{0}{\int_{t+\theta }^{t}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s\text{d}\theta }}$
当P >0、Q >0与R >0时,该函数正定,即V (xt )>0。对V (xt )求导可得
(7) $\dot{V}({{x}_{t}})={{\xi }^{T}}(t){{\Phi }_{1}}\xi (t)-\int_{t-h}^{t}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s=}\\ {{\xi }^{T}}(t){{\Phi }_{1}}\xi (t)-\int_{t-h}^{t-h(t)}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s}-\\ \int\limits_{t-h(t)}^{t}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s}$
(8) $-\int_{t-h}^{t-h(t)}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s}\le {{\xi }^{T}}(t)\left( {{\Phi }_{21}}+{{\Phi }_{41}} \right)\xi (t)$
(9) $-\int_{t-h(t)}^{t}{{{{\dot{x}}}^{T}}(s)R\dot{x}(s)\text{d}s}\le {{\xi }^{T}}(t)\left( {{\Phi }_{22}}+{{\Phi }_{42}} \right)\xi (t)$
${{\Phi }_{41}}=(h-h(t))\Pi _{21}^{T}\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{\frac{1}{2i-1}}{{N}_{i}}R_{_{1}}^{-1}N_{i}^{T} \right){{\Pi }_{21}}$
${{\Phi }_{42}}=h(t)\Pi _{22}^{T}\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{\frac{1}{2i-1}}{{M}_{i}}R_{_{1}}^{-1}M_{i}^{T} \right){{\Pi }_{22}}$
考虑到任意合适维度矩阵X 1 、X 2 、X3 ,下列等式成立：
(10) $0=2[{{\dot{x}}^{T}}(t){{X}_{1}}+{{x}^{T}}(t){{X}_{2}}+{{x}^{T}}(t-h(t)){{X}_{3}}]\times \\ [-\dot{x}(t)+(A\text{+}\Delta A)x(t)+(B+\Delta B)x(t-h(t))]$
代入HF (t )[E a ,E b ]=[ΔA, ΔB ],式(10)转化为
(11) $0={{\xi }^{T}}(t)[{{\Phi }_{3}}+\theta _{1}^{T}F(t){{\theta }_{2}}+\theta _{2}^{T}F(t){{\theta }_{1}}]\xi (t)$
(12) $\dot{V}({{x}_{t}})\le {{\xi }^{T}}(t)[\Phi +\theta _{1}^{T}F(t){{\theta }_{2}}+\theta _{2}^{T}(t)F(t){{\theta }_{1}}]\xi (t)$
$\Phi ={{\Phi }_{1}}+{{\Phi }_{2}}+{{\Phi }_{3}}+{{\Phi }_{41}}+{{\Phi }_{42}}$
(13) $\Phi +\theta _{1}^{T}F(t){{\theta }_{2}}+\theta _{2}^{T}(t)F(t){{\theta }_{1}}<0$
(14) $\Phi +{{\lambda }^{-1}}\theta _{1}^{T}{{\theta }_{1}}+\lambda \theta _{2}^{T}{{\theta }_{2}}<0$
应用Schur补定理,式(14)等价于判据式(5)。因此,$\dot{V}({{x}_{t}})<0$成立,系统式(2)稳定,证明结束。
4 案例分析
本文以单机无穷大系统为例,该系统参数取值参见文献[4,6],假定系统存在单一时滞,在阻尼系数D =7.0、K A =180、P m =1.0的情况下,系统矩阵为
$A=\left[ \begin{matrix} 0 & 376.991\ 1 & 0 & 0 \\ -0.096\ 3 & -0.700\ 0 & -0.080\ 1 & 0 \\ -0.048\ 0 & 0 & -0.166\ 7 & 0.100\ 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1.000\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ $B=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 38.018\ 7 & 0 & -95.256\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
假设励磁放大系数存在扰动,且在此扰动影响下的实际系数为
(15) ${{\tilde{K}}_{A}}={{K}_{A}}+r$
式中,r 为反映激励放大系数扰动的一个标量;K A 为励磁放大系数的整定值。
为了研究r 对系统稳定性的影响,将参数的不确定性视为
$H=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r \\ \end{matrix} \right]$ ${{E}_{\text{a}}}=0$ ${{E}_{\text{b}}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
应用本文定理列出r 取不同值时且式(2)满足约束条件0 <h (t )<h 情况下系统最大允许的时滞稳定裕度h ,并与其他文献的计算结果进行对比,见下表。
由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性。
5 结束语
本文根据含不确定性时滞环节的电力系统系统模型的约束条件,构建合适的Lyapunov-
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给出一种改进的基于Lyapunov理论的电力系统时滞稳定分析方法。首先基于Krasovskii理论列解系统的Lyapunov泛函，然后将泛函对时滞系统轨迹的导函数用一组线性矩阵不等式（LMI）表示，在泛函导数推导过程中，通过引入一些必要的松散项以减少方法的保守性。最后，借助典型2阶时滞系统和WSCC 3机9节点系统，验证了所述方法的有效性，并与自由权矩阵方法进行了比较和讨论。
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针对基于直接法分析电力系统时滞稳定结果存在保守性的问题，构造新型Lyapunov泛函，得到改进的鲁棒稳定性判据，所得结果去除了现有结果对时变时滞可微性及导数的限制，降低了结果的保守性。此外，这些由线性矩阵不等式形式给出的稳定性判据，可通过线性矩阵不等式工具箱进行求解。最后，以单机无穷大系统和WSCC 3机9节点系统为例，计算系统的时滞稳定裕度，仿真结果表明所提方法的有效性和实用性。
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针对基于直接法分析电力系统时滞稳定结果存在保守性的问题，构造新型Lyapunov泛函，得到改进的鲁棒稳定性判据，所得结果去除了现有结果对时变时滞可微性及导数的限制，降低了结果的保守性。此外，这些由线性矩阵不等式形式给出的稳定性判据，可通过线性矩阵不等式工具箱进行求解。最后，以单机无穷大系统和WSCC 3机9节点系统为例，计算系统的时滞稳定裕度，仿真结果表明所提方法的有效性和实用性。
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考虑时滞影响的电力系统小扰动稳定域
1
2006
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
考虑时滞影响的电力系统小扰动稳定域
1
2006
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
时滞环节对电力系统小扰动稳定性的影响
1
2006
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
时滞环节对电力系统小扰动稳定性的影响
1
2006
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
电力系统时滞稳定裕度求解法
1
2007
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
电力系统时滞稳定裕度求解法
1
2007
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
时变时滞电力系统鲁棒稳定性的改进型判据
3
2015
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
... 给定不同
r 情况下的最大时滞稳定裕度
h r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0
由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
... 文献[
8 ]
文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0 由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
时变时滞电力系统鲁棒稳定性的改进型判据
3
2015
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
... 给定不同
r 情况下的最大时滞稳定裕度
h r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0
由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
... 文献[
8 ]
文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0 由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
随机时滞电力系统稳定性分析
1
2015
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
随机时滞电力系统稳定性分析
1
2015
... 目前,对于时滞系统的研究一般基于Lyapunov直接法的时域法.文献[1, 2]提出,在保证离散时滞系统稳定前提下获得最大的时滞稳定裕度,通过选取一个合适的Lyapunov-Krasovskii泛函和应用保守性较小的方法处理泛函导数中的积分项.文献[3 ] 中提及使用自由权矩阵不等式来处理积分项.文献[4 ]给出了一种基于双层优化的追踪算法,求解含小扰动时滞电力系统时滞稳定裕度.文献[5 ]提出发现时滞常数偏大时,可能会影响含小扰动电力系统的稳定性态.文献[6 ]介绍了一种求解动力系统时滞稳定裕度的有效方法.文献[7, 10]提出引入必要的松散项来降低保守性.文献[8 ]去除了现有结果对时滞可微性和导数的限制.文献[9 ]分析了不同随机激励强度、不同随机激励分布下时滞电力系统的稳定性. ...
电力系统时滞依赖型稳定判据及其应用
2
2010
... 给定不同
r 情况下的最大时滞稳定裕度
h r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0
由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
... 文献[
10 ]
定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0 由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
电力系统时滞依赖型稳定判据及其应用
2
2010
... 给定不同
r 情况下的最大时滞稳定裕度
h r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 r 文献[8 ] 文献[10 ] 定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0
由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
... 文献[
10 ]
定理1 0.5 0.058 7 0.057 0.063 4 5 0.045 7 0.039 7 0.059 4 1 0.057 6 0.055 2 0.063 0 6 0.044 4 0.035 3 0.058 6 1.5 0.055 7 0.053 4 0.062 6 7 0.041 7 0.030 7 0.057 8 2 0.054 5 0.051 6 0.062 2 8 0.039 2 0.026 3 0.056 8 2.5 0.053 3 0.049 7 0.061 6 9 0.036 3 0.02 2 0.056 0 4 0.047 9 0.043 9 0.060 4 10 0.034 3 0.01 8 0.055 0 由上表可知,当K A 中的扰动项r 变化时,系统稳定运行所允许的最大时滞稳定裕度h 也随着变化,且随扰动项r 的不断增大而逐渐减小,效果明显,这表明本文的稳定性判据能让系统具有更小的保守性. ...
Output feedback H ∞ control of systems with uncertainty
1
1996
... 引理2[11 ] 给定适当维数矩阵Z =Z T ,H ,E ,则Z +HFE +E T F T H T <0 ,对所有满足F T F ≤I 的F ,当且仅当存在λ >0,有 ...
