随着分布式电源系统的广泛应用,恒功率负载（Constant Power Load,CPL）在电源系统负载中的比例越来越大,如在未来多电飞机直流配电系统中,75%的负载是CPL^[1]。传统直–直变换器优化设计时只考虑恒阻性负载,当带CPL时变换器动态性能和稳定性得不到保证。

CPL的负阻特性会对变换器输出电压稳定产生影响^[1,2],因此抑制负阻影响对提高变换器输出电压稳定范围有着重要的意义。增大母线电容可以提高级联系统的电压稳定性^[3],但会导致系统动态响应变慢。文献[4,5]利用平均模型和相平面法分析了带CPL的DC-DC变换器的稳定性,如果电路参数全部给定,该方法可以用于验证系统的稳定性,但是计算烦琐,对数学软件依赖性强,一旦负载参数发生变化,需重新计算验证系统的稳定性,在小信号情况下,直流分布式电源系统稳定性可以通过测量阻抗比的奈氏曲线来判断^[6],而文献[7]提出一种新颖的基于无源稳定性的判据（Passivity Based Stability Criterion,PBSC）判断系统的稳态性能,PBSC利用阻抗的无源性而不是利用阻抗比判据,可以减少如Middlebrook判据及其扩展判据的人为设计保守性和灵敏性。

无源控制技术最早在机器人中得到应用^[8]。文献[8]指出：开关变换器的无源控制技术是基于能量的控制策略。虽然无源控制技术本质是一种非线性控制,但其算法比较简单且易于实现。另外,无源控制技术也是一种全局定义且全局稳定的控制策略,这就使得开关变换器系统对参数变化和外来的扰动均具有较强的鲁棒性。

本文首先分析CPL的负阻特性,对带CPL的Buck-Boost变换器的稳定性进行了分析,并研究了抑制CPL负阻特性的无源控制策略,仿真结果表明本文所提无源控制策略的可行性。

对于图1所示的Buck-Boost变换器,如果变换器的负载为恒阻负载,可获得稳定的输出电压,那么无论输入电压大小,变换器输出功率为一个定值,即P = U_c²/R。如果假定改变变换器的输入电压,且变换器的效率没有明显变化,输入功率就是恒定的,那么在变换器的输入端就相当于CPL。

使用线性控制方法来研究CPL的问题,它需要在稳定运行点处建立CPL线性方程模型。对于CPL,可以写为

式中,i为流过CPL的电流;u为CPL两端的电压;P为CPL的功率。

在给定的稳定工作点（U,I）附近有

其特性曲线可近似于一条与该曲线相切的直线,设直线公式为i = au + b,则由式（2）,有a = -P/U²,将点（U,I）带入直线中可求b = 2P/U,于是该切线公式为

于是CPL可近似等效于一负阻R_CPL = -U²/P与一受控电流源I_CPL = 2P/U的并联电路,如图2所示。

对于单端口网路,当且仅当网路从外界吸收功率,则该网络是无源的,网络就是稳定的。即在所有时间段T内

式中,u(t)、i(t)分别为单端口网络两端电压和流过网络的电流。

当且仅当式（4）恒成立,该网络是无源的^[7]。根据Parseval定理^[7],可得网络吸收的总能量为

式中,I^*(jω) = I(-jω),I^*(jω)为I(jω)的共轭复函数,I(jω)为i(t)的连续傅里叶变换;U(jω)为u(t)的连续傅里叶变换;Re[Z(jω)]为Z(jω)的实部。

由式（5）可知,当阻抗实部正定时,网络吸收的功率恒大于零,则单端口网络是无源的。

Buck-Boost变换器带恒阻负载如图3所示。

由文献[9]可得Buck-Boost变换器工作在连续导电模式（Continuous Conduction Mode,CCM）情况下的状态方程为

式中,L、C分别为电感和电容值;σ为驱动信号。

Buck-Boost变换器开环输入阻抗为

其实部为

由式（8）可知,阻抗实部正定还是负定取决于R的正负,因此,当R为正时,阻抗实部正定,反之亦然。由CPL的负阻特性可知,R = R_CPL = -U_C²/P,即带CPL的Buck-Boost变换器输入阻抗实部负定,由实部负定可得带CPL的Buck-Boost变换器为非无源的,可导致其不稳定。

对于非无源Buck-Boost变换器,要保证其具有稳定性和优秀的稳态和动态性能,需设计无源控制器（Passivity Based Controller,PBC）,使变换器变为无源的。对此,本文基于端口受控的耗散哈密顿（Port Controlled Hamiltonian with Dissipation,PCHD）系统模型设计PBC,克服CPL负阻特性影响。

系统的PCHD模型^[11,12]为

式中,x∈Rⁿ为状态矢量;u,y为输入和输出矢量;R(x)为光滑依赖于x的半正定对称矩阵,R(x) = R^T(x)≥0反映了端口上的附加阻性结构,表示系统的耗散;J(x)为n×n反对称矩阵,J(x) = -J^T(x)反映了系统内部的互联结构。

在这种情况下,Buck-Boost能量平衡变成如下形式

式（10）表明,如果哈密顿函数有下界,PCHD系统是严格无源的。

本文基于PCHD模型,采用互联和阻尼分配无源控制（Interconnection and Damping Assignment Passivity Based Control,IDA-PBC）方法进行PBC设计。

PCHD系统控制基本思想是为了使系统稳定在期望平衡点x^*,保证系统的输出误差接近于零。给系统能量函数H(x)注入加入反馈控制后的能量函数H_a(x),生成新的期望能量函数H_d(x)：H_d(x) = H(x) + H_a(x)。如果能够保证期望能量函数H_d(x)在平衡点x^*处取极小值,即x^* = argminH_d(x),则这个状态的控制律u就能使系统工作在平衡点x^*附近^[11]。

IDA-PBC的控制思想是确定一个控制律u,使系统的闭环PCHD模型为

式中,J_d(x) = J(x) + J_a(x)和R_d(x) = R(x) + R_a(x)分别是新的互联和耗散矩阵;R_a(x)为阻尼注入矩阵;H_d(x) = H(x) + H_a(x)为总能量存储函数。

不失一般性,给定u,J_a(x),R_a(x)和矢量函数

满足

且使

。

如果包含在集合A中的闭环系统最大不变集等于{x^*},则系统将是渐进稳定的。

取电感磁链ϕ_L和电容电荷q_C作为状态变量,即x = [x₁,x₂]^T = [ϕ_L,q_C]^T。变换器的动态方程为

设变换器能量存储函数为

根据式（14）可得变换器的PCHD模型

式中,J_BBh,R_BBh, ,u分别为J_BBh =

, 。

（1）期望平衡点的确定。根据动态方程式（14）可得期望平衡点

式中,U_C^*为满足CPL所需电压;σ^*为期望驱动信号, 。

（2）PBC设计。设闭环系统形成的能量函数为

式中,j,r_a1,r_a2分别为系统的新增互联及阻尼注入参数;x_e为误差。由式（18）可知,系统在x^*处H_d(x)具有最小值。

根据IDA-PBC算法,K(x)满足

显然,满足可积性条件。

根据H_d(x) = H(x) + H_a(x)、J_d(x) = J(x) + J_a(x)、R_d(x) = R(x) + R_a(x),式（12）可变为

根据式（20）可得

同时可得

结合无源控制律得到闭环控制输入阻抗为

其阻抗实部为

式中,a,b,c,d分别为

式（25）〜式（28）中,I_L^*、U_C^*分别为电压电流期望值;U_S为变换器输入电压;j为互联系数;r_a1为阻尼系数。通过选择合适的j和r_a1,可得a>0,b>0,c<0,d<0,得Re[Z_closed(jω)]>0,故阻抗实部正定,使施加PBC的带CPL的Buck-Boost变换器无源稳定。

综上所述,构建Buck-Boost带CPL闭环控制原理框图,如图4所示。

根据图4搭建带CPL的Buck-Boost变换器的Simulink模型。仿真参数见下表。

Buck-Boost变换器带CPL时的开环控制输出电压波形和电感电流波形如图5所示,闭环控制输出电压波形和电感电流波形如图6所示。由图可知,在变换器开环运行时,输出电压和电感电流发散振荡,并且输出电压不能很好地达到期望值且不稳定;当变换器工作在闭环控制时,通过对r_a1和j参数的调整,输出电压可以快速达到期望值,并且动态响应和稳态性能良好。

本文给出了CCM模式下Buck-Boost变换器带CPL的小信号模型,分析得出CPL的负阻特性使得变换器非无源的且可导致不稳定,因此本文利用无源控制来抑制CPL的负阻影响,使变换器无源和稳定。仿真结果表明,采用PBC可以使带CPL的Buck-Boost变换器输出稳定电压,可以有效地保证系统的动态响应和稳态运行。