高频开关谐波是PWM整流器的必然产物,特别是对于有源电力滤波器^[1,2,3]（Active Power Filter,APF）来说,应该避免高频谐波造成电网的二次污染。此时,通常在装置并网侧安装低通滤波器（Low Pass Filter,LPF）^[4]。该方法需要同时兼顾APF最高次谐波的补偿效果和最低次高频开关谐波的抑制效果,往往不能完全消除高频谐波,且当APF为了满足某些领域的大容量补偿要求而采用模块化并联结构^[5,6]时,总体输出高频谐波就比较明显,而在并联系统总输出安装LPF时,设计容量较大,且无功容量难以满足设计要求。为此,人们将载波相移SPWM（Carrier Phase-Shifted SPWM,CPS-SPWM）技术引入到并联系统控制中来^[7,8,9],该调制策略具有等效开关频率高、输出谐波含量小以及控制方法简单等优良特性,能够通过提高谐波频率来抑制系统输出高频谐波,降低LPF的设计容量和难度。

此外,对于SPWM的实现方法,主要有基于模拟电路的自然采样法和基于数学控制技术的规则采样法。前者精度和实时性较好,但模拟电路复杂,且电路参数易受温度、电磁干扰等外部环境的影响;后者工程实现简单,且当开关频率远高于电网频率时,可以代替前者实现较好的控制效果^[10]。实际工程中,规则采样法主要存在两种类型：不对称规则采样方法和对称规则采样方法。前者采样点较后者增加一倍,但同时也提高了SPWM脉冲生成精度,后者采样点少,实现简单,实际工程中可根据不同的应用场合选择。目前,在SPWM变流器输出谐波特性的研究中,多数是针对自然采样法的实现方法^[10,11,12],而对基于规则采样法的相关研究较少。

文章研究基于对称规则采样方法的多模块APF并联系统的谐波特性,旨在为并联系统的LPF参数选择、各模块的协调控制、并联环流的形成机理分析以及保护等提供理论指导。文章首先对基于对称规则采样法的单个APF模块的SPWM输出电压、电流的谐波特性进行了分析,在此基础上,通过建立并联系统的数学模型,分析了基于CPS-SPWM的APF并联系统的谐波特性。最后,对上述理论进行了实验验证。

三相并联型APF系统电路模型如图1所示。

图中,L、R分别为网侧连接电抗和等效电阻,C为直流滤波电容;U_dc为直流侧电压;i_x、u_x、e_sx分别为APF补偿电流、相电压和电网电压,x=a, b, c。文章为了特出对交流谐波特性的分析,取电压参考点为直流电压中心点0,以避免选择参考点N所带来的直流分量,而两种参考点下输出电压交流谐波特性一致。

为了简化分析,设电网三相电压对称无畸变,并忽略网侧等效电阻。此外,由于APF补偿n（≥2）次谐波电流,文章根据线性叠加原理,仅对任一单次谐波进行分析。

根据图1及上述系统特征,建立三相并联型APF时域谐波数学模型^[13]

（1）

鉴于装置的三相对称性,下面均以a相为例分析问题。

2.2.1 基于载波频率的输出电压函数

图2为基于对称规则采样法的一个载波周期T_c中SPWM输出电压局部放大图。图中,V_rm为载波峰值,u_s为正弦调制波,在t₁时刻采样u_s,并用采样数值与载波相比较来生成触发脉冲,t_on时区触发桥臂上管导通、下管关闭,t_off时区触发桥臂下管导通、上管关闭,可见该触发脉冲在T_c中呈对称分布。

设正弦调制波函数u_s为

（2）

式中,U_m、ω_s和φ分布为调制波的幅值、角频率和初相角,令调制比M=U_m/V_rm。

本文以载波角频率ω_c为基准来分析u_a的谐波特性。图中,θ₁、θ₂为一个载波周期2π中u_a生成的触发边沿时刻。

结合图2和式（2）,求得θ₁、θ₂的取值

（3）

则u_a一个载波周期的表达式为

（4）

将u_a展开成Fourier级数的形式,并令t=t₁,具体过程略。即

（5）

观察式（5）,当n为偶数时,sin [(nπ)/2]=0;而当n为奇数时,cos [(nπ)/2]=0,因此,可将式（5）进一步化简为

（6）

2.2.2 u_a的谐波特性分析

由式（6）可见,u_a由两个部分组成,这里分别记为u_as和u_an,其中

（7）

（8）

式中,u_as其与载波无关,仅与调制波u_s和调制系数M相关,这里称之为低频调制分量。可见,低频调制分量u_as与u_s同步,其幅值等于MU_dc/2,与调制系数M成正比。

u_an为与ω_c相关的高频谐波,这里称为高频开关分量。下面将重点分析u_an的高频谐波特性。

为了深入研究u_an的谐波特性,引入贝塞尔函数^[12]

（9）

利用贝塞尔函数将式（8）中的项sin[nπMsin(ω_st+φ)] 、 展开,解得

（10）

分析式（10）,u_an的谐波分布由两部分组成：

（1）谐波频率为(2n-1)ω_c±2lω_s,谐波分布在奇数倍载波频率(2n-1)ω_c附近,且由于其边频为偶数次调制波频率,即2lω_s,因此谐波呈奇数次分布;谐波幅值为 ,n=1,

2, …,l=0, 1, 2, …。

（2）谐波频率为2nω_c±(l-1)ω_s,谐波主要分布在偶数倍载波频率2nω_c附近,且由于其边频为奇数次调制波频率,即(2l-1)ω_s,谐波呈奇数次分布;谐波幅值为 ×J_2l-1(nπM),n=1, 2, …,l=1, 2, …。

综合分析可知,高频谐波u_an分布在n倍的载波频率即nω_c附近,且呈奇数次分布,n=1, 2, …。

参照第2.2.2节,定义i_a的低频调制分量和高频开关分量分别为i_as和i_an。

2.3.1 低频调制分量i_as

根据式（1）和式（7）,并令u_a初始值为0（下同）,求得i_as（过程略）

（11）

分析式（11）,i_as的幅相特性为

（1）相频特性：滞后u_as相位角度为π/2,这是由电感特性决定,参照式（1）,下同。

（2）幅频特性：相比较于电压u_as,幅值提高1/(ω_sL)倍,且在L既定情况下,与ω_s成反比。

（12）

2.3.2 高频开关分量i_an

结合式（1）和式（10）,可求得i_an

由（12）可见,i_an具有以下谐波特性：

（1）谐波分布特性。类似于u_an的谐波分布,高频开关谐波i_an分布在n倍的载波频率即nω_c附近,且呈奇数次分布,n=1, 2, …。

（2）幅值特性。由于通常情况下ω_cL>1,且 ,忽略含有ω_s数值项的影响,则相比较于u_an,在频率点nω_c处,i_an的幅值降低nω_cL倍,且在ω_cL既定情况下,随着n的增长,频率nω_c越高,幅值衰减越多,n=1, 2, …。

多模块APF并联系统的电路结构如图3所示,并联单元数为N。图中,i_ka、i_kb和i_kc为各模块三相输出电流,u_ka、u_kb和u_kc为各模块三相桥臂输出相电压,i_za、i_zb和i_zc为并联系统总电流,其他标号定义参照图1,k=1, 2, …, N。

装置采用基于CPS-SPWM的开关调制方法,各单元载波相互错开时间T_s=T_c/N,即载波相位依次滞后2π/N。为了简化分析,在2.1节单个APF模块基础上,对并联系统作如下特征设定：各模块元件参数一致,直流侧电压相同;各模块具有相同的调制波函数u_s。

根据图3及上述并联系统特征,将各模块形如式（1）的数学模型表达式求和,即

（13）

由图3,根据基尔霍夫电流定律可得 ,并令 ,将i_zx、u_zx代入

式（13）可得并联系统谐波数学模型

（14）

下面仍然以a相为例分析问题,根据式（14）,文章首先分析u_za的谐波特性,在此基础上,分析并联系统输出总电流i_za的谐波特性。

3.2.1 u_za的谐波特性

参照第2.2.2节,定义u_za的低频调制分量和高频开关分量分别为u_zas、u_zan,按照3.1节并联系统特征,并结合式（7）~式（10）,分析u_za的谐波特性。

（1）低频调制分量

由式（7）可知,各模块低频调制分量u_kas相同（k=1, 2, …, N）,因此有

（15）

可见,u_za与各模块输出电压u_ka的低频调制相同,k=1, 2, …, N。

（2）高频开关分量

由式（8）,可得各并联模块输出电压谐波分量

对于和式

仔细分析可知,只有当2n–1等于整数倍的N时,和式等于Ncos((2n–1)ω_ct),而当2n–1取其他值时,和式为0;另一方面,由于2n–1为奇数,只有当N亦为奇数时两者才可能存在整数倍关系,且该倍为数奇数,因此,取2n–1=(2m–1)×(2N–1),m=1, 2, 3, …。

同理,对于和式

只有当2n等于整数倍的N时,和式等于Ncos (2nω_ct),其他取值时,和式为0;同时,当N取偶数时,为连续整数倍关系,此时,取2n=m×2N,m=1, 2, 3, …;当N取奇数时,为偶数整数倍关系,此时取2n=2m×(2N-1),m=1, 2, 3, …。

（16）

根据上述关系,可求得高频谐波分量u_zan

同理,可以利用式（9）的贝塞尔函数分析式（16）,可解得式（17）。

根据式（17）,可得出u_zan的以下高频谐波特性,具体谐波分布包括3个部分：

（1）谐波频率为(2m-1)(2N-1)ω_c±2lω_s,谐波分布在(2m-1)(2N-1)倍的载波频率ω_c附近,且其边频为偶数次调制波频率,即2lω_s,谐波呈奇数次分布;谐波幅值为 ,

式中,m=1, 2, 3, …;l=0, 1, 3, 5, …。

（17）

（2）谐波频率为2mNω_c±(2l-1)ω_s,谐波分布在2mN倍的ω_c附近,且由于其边频为奇数次调制波频率,即(2l-1)ω_s,因此谐波呈奇数次分布;

谐波幅值为 ×J_2l–1(mNπM),式中,m=1, 2, 3,…;l=1, 3, 5, …。

（3）谐波频率为2m(2N-1)ω_c±(2l-1)ω_s,谐波分布在2m(2N-1)倍的ω_c附近,且其边频为奇数次调制波频率,即(2l-1)ω_s,因此谐波呈奇数次分布;谐波幅值为 ×J_2l-1(m(2N-1)πM),式中,m=1, 2, 3, …;l=1, 3, 5, …。

综合分析可知,高频谐波u_zan分布在mN倍的载波频率即mNω_c附近,呈奇数次分布,但在谐波点(2m-1)×(2N-1)ω_c、m×2Nω_c和m×(2N-1)ω_c存在3个不同的谐波特征,m=1, 2, 3, …。

3.2.2 i_za的谐波特性

同理,参照第2.2.2节,定义i_za的低频调制分量和高频开关分量分别为i_zas、i_zan。

（1）低频调制分量i_zas

根据式（14）和式（15）,求得i_zas

（18）

比较式（11）和式（18）可知,对于低频调制分量来说,并联系统输出总电流i_zas在相位上与单模块输出电流i_as同步,在幅值上提高了N倍,这符合并联系统扩容的主要功能要求。

（19）

（2）高频开关分量

同理,根据式（14）和式（17）,可求得i_zan

分析式（19）i_zan的谐波特性：

（1）谐波分布特性。类似于u_zan的分布特性,i_zan分布在mN倍的载波频率即mNω_c附近,呈奇数次分布,m=1, 2, 3, …;相比较于i_an,i_zan的谐波频率提高了N倍。

（2）幅频特性。由于通常情况下ω_cL>1,且ω_c>>ω_s,忽略含有ω_s数值项的影响,则相比较于i_an,在频率点mNω_c处,幅值降低N倍,且在ω_cL既定情况下,随着m和N的增长,频率mNω_c越高,幅值衰减越多。

上述结论表明,基于CPS-SPWM开关调制技术的并联系统,输出电流的高频开关分量的频率与并联数N成正比,而幅值与N成反比。

按照图3搭建APF并联系统实验平台,并联数N=2。系统参数设置：系统电压400V;滤波电感L=0.3mH,直流电容C=5 000μF;开关频率f_c取12.8kHz,负载为三相不控整流器带电阻负载。

实验直流电压控制目标为800V,并联系统采用CPS-SPWM开关调制技术,为了简化分析,设置装置补偿5次谐波电流。实验波形如图4~图6所示。

图4为单个模块输出电压的波形和FFT频谱,可见,高频开关频率主要分布在m×12.8kHz附近,m=1, 2, …,这符合式（10）的结论。

图5与图6分布为单个模块输出电流i_a及装置并联输出总电流i_za波形和及其FFT频谱,这里由于5次谐波补偿电流较小,因而高频开关谐波分量在图形中相对偏大,但不影响谐波特性的分析。由图可见,i_a的高频开关谐波频率主要分布在m×12.8kHz附近,m=1, 2, …,这符合式（12）的结论;而i_za的高频开关谐波频率主要分布在2m×12.8kHz附近,m=1, 2, …,这与式（18）的结论相符合。

通过上述对基于对称规则采样法的APF单模块SPWM电压、电流谐波特性以及多模块并联系统CPS-SPWM电压、电流谐波特性的理论分析及实验验证,可知：

（1）低频调制谐波特性。相比较于单个模块输出电流i_as,并联系统输出总电流i_zas在相位上与之同步,在幅值上提高了N倍,这符合并联系统扩容的主要功能要求。

（2）高频开关谐波特性。①谐波分布特性：并联系统输出电流的高频谐波i_zan主要分布在mN倍的载波频率即mNω_c附近,呈奇数次分布,m=1, 2, 3, …;但在(2m-1)×(2N-1)ω_c、m×2Nω_c和m×(2N-1)ω_c三个载波频率分布点,高频谐波的幅值分布存在3种变化规律;②幅频特性：相比较于单个模块输出电流i_an,i_zan的高频谐波频率提高了N倍,在频率点mNω_c处,幅值降低了N倍,并且,在ω_cL既定情况下,随着m和N的增长,频率mNω_c越高,幅值衰减越多。

（编辑：郭丽军）